Кіріспе
Өз мәндерін үнемі бірдей аралықта немесе кезеңдерде қайталайтын функция. Периодтық функция немесе циклдық функция, сондай-ақ периодтық толқын (немесе жай ғана периодтық толқын) деп аталады, ол өз мәндерін үнемі бірдей аралықта немесе кезеңдерде қайталайтын функция болып табылады. Функцияның немесе толқынның қайталанатын бөлігі цикл деп аталады. Мысалы, радиандармен қайталанатын тригонометриялық функциялар – периодтық функциялар. Периодтық функциялар ғылымның барлық салаларында дірілдеулерді, толқындарды және басқа да периодтылық көрсететін құбылыстарды сипаттау үшін қолданылады. Периодтық емес кез келген функция апериодтық деп аталады.
A periodic function or cyclic function, also called a periodic waveform (or simply periodic wave), is a function that repeats its values at regular intervals or periods. The repeatable part of the function or waveform is called a cycle. For example, the trigonometric functions, which repeat at intervals of radians, are periodic functions. Periodic functions are used throughout science to describe oscillations, waves, and other phenomena that exhibit periodicity. Any function that is not periodic is called aperiodic.
Екі кезеңді функциялар
Комплекс сандар жиыны домені болатын функция тұрақты болмай, екі өлшемсіз кезеңге ие болуы мүмкін. Эллипстік функциялар осындай функциялар болып табылады. ("Өлшемсіз" дегеніміз, бұл жағдайда бір-бірінің нақты еселіктері емес.)
Периодикалық функция
Периодтық функциялардың бір тобы – антипериодтық функциялар. Бұл – кез келген үшін орындалатын функция. Мысалы, синус және косинус функциялары антипериодтық және периодты болып табылады. Антипериодтық функция – периодтық функция, бірақ керісінше әрқашан дұрыс болмайды.
Блох-периодикалық функциялар
Бұған қоса, Блох теоремалары мен Флоке теориясының аясында, әр түрлі периодты дифференциалдық теңдеулердің шешімін анықтайтын тағы бір жалпылау кездеседі. Осы жағдайда, шешім (бір өлшемде) әдетте мынадай формадағы функция болып табылады:
мұнда – нақты немесе кешен сан (Блох толқын векторы немесе Флоке көрсеткіші). Мұндай формадағы функциялар кейде Блох периодты функциялары деп аталады. жағдайында периодты функцияның, ал жағдайында антипериодты функцияның ерекше жағдайы болады. Егер рационал сан болса, онда функция да периодты болады.
Домен ретінде котиент кеңістіктері
Сигналдарды өңдеуде Фурье тізбектерінің периодты функцияларды бейнелейтіні және Фурье тізбектерінің конволюция теоремаларын қанағаттандыратынымен (яғни, Фурье тізбектерінің конволюциясы бейнеленген периодты функцияның көбейтуіне сәйкес келеді, және керісінше) кездесесіз, бірақ периодты функцияларды дәстүрлі анықтама бойынша конволюциялау мүмкін емес, себебі қатысты интегралдар шексіз болады. Мүмкін болатын шешім – шектеулі, бірақ периодты доменде периодты функцияны анықтау. Осы мақсатта, бөлік кеңістігін пайдалануға болады: яғни, кеңістіктегі әрбір элемент – бірдей бөлшек бөлігіне ие нақты сандардың эквиваленттік класы. Осылайша, сияқты функция 1 периодты функцияның өрнегі болып табылады.
That is, each element in is an equivalence class of real numbers that share the same fractional part. Thus a function like is a representation of a 1 periodic function.
Есептеу мерзімі
Бастапқы жиілікке қатынас ретінде берілген жиынтық түрінде көрсетілген, үстіне орналастырылған жиіліктерден тұратын нақты толқынды қарастырайық: f: F = 1/f [f f f f], мұнда нөлге тең емес барлық элементтер ≥1 және жиынтықтың кем дегенде бір элементі 1-ге тең. T периодын табу үшін, ең алдымен жиынның барлық элементтерінің ең кіші ортақ бөлігін табыңыз. Период T = ЕКОБ/f арқылы анықталады. Қарапайым синусоида үшін T = 1/f деп есептесек, ЕКОБ периодық көбейткіш ретінде қарастырылады. Батыс мажорлық гаммасының барлық ноталарын көрсететін жиын үшін: [1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8] ЕКОБ 24-ке тең, сондықтан T = 24/f. Мажорлық үш дыбыстың барлық ноталарын көрсететін жиын үшін: [1 5/4 3/2] ЕКОБ 4-ке тең, сондықтан T = 4/f. Минорлық үш дыбыстың барлық ноталарын көрсететін жиын үшін: [1 6/5 3/2] ЕКОБ 10-ға тең, сондықтан T = 10/f. Егер ең кіші ортақ бөлік болмаса, мысалы, жоғарыда аталған элементтердің бірі иррационал сан болса, онда толқын периодық болмайды.