Канонические решения общего уравнения Лежандра

Введение

Канонические решения общего уравнения Лежандра
В математике, ассоциированные полиномы Лежандра являются каноническими решениями общего уравнения Лежандра

или, эквивалентно,

где индексы ℓ и m (которые являются целыми числами) называются соответственно степенью и порядком ассоциированного полинома Лежандра. Это уравнение имеет ненулевые решения, не имеющие особенностей, только если ℓ и m – целые числа, удовлетворяющие условию 0 ≤ m ≤ ℓ, или имеют тривиально эквивалентные отрицательные значения. Если дополнительно m четно, то функция является полиномом. Если m равно нулю, а ℓ – целому числу, то эти функции совпадают с полиномами Лежандра. В общем случае, когда ℓ и m – целые числа, регулярные решения иногда называют "ассоциированными полиномами Лежандра", хотя они не являются полиномами при нечетном m. Полный общий класс функций с произвольными действительными или комплексными значениями ℓ и m – это функции Лежандра. В этом случае параметры обычно обозначаются греческими буквами. Обыкновенное дифференциальное уравнение Лежандра часто встречается в физике и других технических областях. В частности, оно возникает при решении уравнения Лапласа (и связанных с ним уравнений в частных производных) в сферических координатах. Ассоциированные полиномы Лежандра играют важную роль в определении сферических гармоник.

Обобщения

Полиномы Лежандра тесно связаны с гипергеометрическими рядами. В форме сферических гармоник они выражают симметрию двухмерной сферы под действием группы Ли SO(3). Существует множество других групп Ли, помимо SO(3), и существуют аналогичные обобщения полиномов Лежандра для выражения симметрий полупростых групп Ли и римановых симметричных пространств. Говоря упрощенно, можно определить оператор Лапласа на симметричных пространствах; собственные функции этого оператора можно рассматривать как обобщения сферических гармоник для других пространств.

Примечания и ссылки

; Раздел 12.5. (Используется иная система знаков.) ; Глава 3. ; Глава 2. Шах, С. Р. (1973) Новые тождества для связанных функций Лежандра целочисленного порядка и степени, Журнал Общества промышленной и прикладной математики по математическому анализу, 1976, том 7, № 1: стр. 59–69.