Кіріспе
Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің отбасылары
Bessel functions, first defined by the mathematician Daniel Bernoulli and then generalized by Friedrich Bessel, are canonical solutions y(x) of Bessel's differential equation
for an arbitrary complex number , which represents the order of the Bessel function. Although and produce the same differential equation, it is conventional to define different Bessel functions for these two values in such a way that the Bessel functions are mostly smooth functions of
The most important cases are when is an integer or half integer. Bessel functions for integer are also known as cylinder functions or the cylindrical harmonics because they appear in the solution to Laplace's equation in cylindrical coordinates. Spherical Bessel functions with half integer are obtained when solving the Helmholtz equation in spherical coordinates.
Бессель функциялары, алғаш рет математик Даниэль Бернулли анықтаған, кейін Фридрих Бессель тарапынан жалпыланған, кез келген комплекс сан үшін Бессельдің дифференциалдық теңдеуінің y(x) каноникалық шешімдері болып табылады, ол Бессель функциясының ретін көрсетеді. және бірдей дифференциалдық теңдеуді тудырса да, осы екі мән үшін әртүрлі Бессель функцияларын анықтау қабылданған, сонда Бессель функциялары көбінесе тегіс функциялар болады. Ең маңызды жағдайлар – бұл бүтін сан немесе жартылай бүтін сан болғанда. Бүтін санды Бессель функциялары цилиндрлік функциялар немесе цилиндрлік гармоникалар деп те аталады, себебі олар цилиндрлік координаттарда Лаплас теңдеуінің шешімінде кездеседі. Гельмгольц теңдеуін шарлық координаттарда шешу кезінде жартылай бүтін санды сфералық Бессель функциялары алынады.
Bessel functions, first defined by the mathematician Daniel Bernoulli and then generalized by Friedrich Bessel, are canonical solutions y(x) of Bessel's differential equation
for an arbitrary complex number , which represents the order of the Bessel function. Although and produce the same differential equation, it is conventional to define different Bessel functions for these two values in such a way that the Bessel functions are mostly smooth functions of
The most important cases are when is an integer or half integer. Bessel functions for integer are also known as cylinder functions or the cylindrical harmonics because they appear in the solution to Laplace's equation in cylindrical coordinates. Spherical Bessel functions with half integer are obtained when solving the Helmholtz equation in spherical coordinates.
Бірінші түрдегі Бессел функциялары:
Бірінші түрдегі Бессел функциялары, Jα(x) деп белгіленеді, Бессел дифференциалдық теңдеуінің шешімдері болып табылады. α – бүтін сан немесе оң сан болған жағдайда, бірінші түрдегі Бессел функциялары нөлде (x = 0) шекті мәнге ие; ал α – теріс, бүтін емес сан болғанда, x нөлге жақындаған сайын бірінші түрдегі Бессел функциялары шексізке ұмтылады. Функцияны Маклаурин қатарының көбейтіндісі ретінде анықтауға болады (α-ның бүтін сан болуы міндетті емес, ал Тейлор қатарында бүтін емес дәрежелерге рұқсат етілмейді), оны Фробеньус әдісін Бессел теңдеуіне қолдану арқылы табуға болады:
мұнда Γ(z) – гамма функциясы, бұл факторлық функцияның бүтін емес мәндерге обобщениеленген түрі. Бірінші түрдегі Бессел функциясы α бүтін сан болса, толық функция болып табылады, әйтпесе нөлдегі ерекшелігі бар көпмәнді функция болып табылады. Бессел функцияларының графиктері шамамен өшіп бара жатқан синус немесе косинус функцияларына ұқсайды, олар пропорционалды түрде азаяды (олардың асимптотикалық түрлерін төменде қараңыз), бірақ олардың түбірлері әдетте периодты емес, тек үлкен x мәндері үшін асимптотикалық түрде ғана периодты болады. (Қатар −J1(x) функциясының J0(x) функциясының туындысы екенін көрсетеді, дәл сияқты −sin x функциясы cos x функциясының туындысы болып табылады; жалпы алғанда, Jn(x) функциясының туындысын төмендегі өрнектер арқылы Jn ± 1(x) функциялары арқылы өрнектеуге болады.) α бүтін емес сан болған жағдайда, Jα(x) және J−α(x) функциялары сызықтық тәуелсіз болады, сондықтан олар дифференциалдық теңдеудің екі шешімі болып табылады. Екінші жағынан, n – бүтін сан болғанда, келесі қатынас орындалады (гамма функциясының оң емес бүтін сандардың әрқайсысында жай полюстері бар):
Бұл екі шешімнің енді сызықтық тәуелсіз еместігін білдіреді. Мұндай жағдайда, екінші сызықтық тәуелсіз шешім екінші түрдегі Бессел функциясы болып табылады, ол төменде талқыланады.
Дифференциалдық қатынастар
Төменде fn – n=1, 0, ±1, ±2 үшін jn, yn, кез келгені.