Кіріспе
Физикада маңызды дифференциалдық теңдеу
Толқын теңдеуі – механикалық толқындар (мысалы, су толқындары, дыбыс толқындары және сейсмикалық толқындар) немесе электромагниттік толқындар (жарық толқындары қоса алғанда) сияқты толқындарды немесе тұрған толқын өрістерін сипаттауға арналған екінші реттік сызықтық дербес дифференциалдық теңдеу. Ол акустика, электромагнетизм және сұйық динамикасы салаларында қолданылады. Бұл мақалада классикалық физикадағы екі бағытты толқындарға назар аударылады. Алдын ала белгіленген бағытта таралатын жеке механикалық немесе электромагниттік толқындарды бірінші реттік бір бағытты толқын теңдеуімен де сипаттауға болады, оны шешу әлдеқайда оңай және ол біртекті емес ортада да қолданылады. Кванттық физика операторлық толқын теңдеуін көбінесе релятивистік толқын теңдеуі ретінде пайдаланады.
Кіріспе
Толқын теңдеуі (екі бағытты) – толқындарды, соның ішінде қозғалатын және тұрақтанған толқындарды сипаттайтын екінші реттік бөлшектік дифференциалдық теңдеу; соңғысы қарама-қарсы бағытта қозғалатын толқындардың сызықтық суперпозициясы ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл мақала негізінен скалярлық толқын теңдеуіне бағытталған, ол скалярлық толқындарды скалярлық функциялар арқылы сипаттайды: u = u(x, y, z, t), мұнда t – уақыт айнымалысы (уақытты білдіретін айнымалы), ал x, y, z – бір немесе бірнеше кеңістіктік айнымалылар (қарастырылып отырған кеңістіктегі орны білдіретін айнымалылар). Векторлық толқын теңдеулері де бар, олар векторлардағы толқындарды сипаттайды, мысалы, электр өрісі, магнит өрісі және магниттік векторлық потенциалы мен серпімді толқындар. Векторлық толқын теңдеулерімен салыстырғанда, скалярлық толқын теңдеуін векторлық толқын теңдеулерінің ерекше жағдайы ретінде қарастыруға болады. Картезиандық координаттар жүйесінде скалярлық толқын теңдеуі – қарастырылатын доменде толқын көздері жоқ векторлық толқынның әрбір компоненті (мысалы, x осі үшін x компоненті) қанағаттандыруға тиіс теңдеу. Мысалы, Картезиандық координаттар жүйесінде, толқын көздері болмаған жағдайда электр векторлық өрісі толқынының сипаттамасы ретінде, әрбір координат осінің компоненті (i = x, y, z) скалярлық толқын теңдеуін қанағаттандыруы керек. Басқа скалярлық толқын теңдеуінің шешімдері u – сұйықтықтағы немесе газдағы қысым, немесе тербелістегі қатты дененің бөлшектерінің тынығу (тепе-теңдік) орнынан белгілі бір бағыттағы орын ауыстыруы сияқты скалярлық физикалық шамалар үшін қолданылады. Скалярлық толқын теңдеуі мынадай түрде жазылады:
мұнда c – тұрақты, теріс емес нақты коэффициент. Басқаша айтқанда: u – тынығу жағдайынан орын ауыстыруды көрсететін фактор, ол газ қысымының қалыптыдан жоғары немесе төмен болуы, көлдегі судың тынығу деңгейінен жоғары немесе төмен болуы, немесе басқа да нәрсе болуы мүмкін. t – уақытты білдіреді. – бұл орын ауыстырудың қаншалықты күшпен өзгеретінін көрсететін термин. x – кеңістікті немесе орны білдіреді. – бұл орын ауыстырудың x нүктесіндегі бір өлшемде (графиктегі осьтердің бірі сияқты) қалай өзгеретінін көрсететін термин. Бұл орын ауыстырудың кеңістіктегі өзгеру жылдамдығы емес, керісінше, кеңістіктегі өзгерудің өзгеру жылдамдығы, оның екінші туындысы. Басқаша айтқанда, бұл термин орын ауыстырудың өзгерулерінің айналадағы кішкентай аумақта қалай қысылатынын көрсетеді. Бұл теңдеу кез келген уақытта, кез келген нүктеде орын ауыстырудың үдеуі айналадағы орын ауыстырудың өзгерулеріне пропорционалды екенін көрсетеді. Немесе, тікелейрек айтқанда: өткір орын ауыстыру күштірек кері итеріледі. Ньютон механикасы мен векторлық есептеудің белгілерін пайдалана отырып, толқын теңдеуін ықшам түрде жазуға болады:
u is the factor representing a displacement from rest situation it could be gas pressure above or below normal, or the height of water in a pond above or below rest, or something else. t represents time. is a term for how forcefully the displacement is being changed. x represents space or position. is a term for how the displacement is varying at the point x in one of the dimensions (like one of the axes on a graph). It is not the rate at which the displacement is changing across space, but in fact the rate at which the change itself is changing across space its second derivative. In other words, this term shows how the displacement's changes are squashed up in a tiny surrounding area. The equation states that at any given instance, at any given point, the way the displacement accelerates is proportional to the way the displacement's changes are squashed up in the surrounding area. Or, in even simpler terms: a more pointy displacement gets pushed back more forcefully. Using the notations of Newtonian mechanics and vector calculus, the wave equation can be written more compactly as
мұнда u-ның үстіндегі екі нүкте u-ның уақыт бойынша екінші туындысын білдіреді, ∇ – набла операторы, ал 1 = ∇² = ∇ · ∇ – (кеңістіктік) Лапласиан операторы (векторлық емес Лапласиан):
Физикада кейде қолданылатын одан да ықшам белгілер жай ғана мынадай түрде жазылады:
мұнда барлық операторлар d'Alembert операторына (көлемдік белгімен белгіленген) біріктірілген:
Бұл (екі бағытты) толқын теңдеуінің шешімі өте күрделі болуы мүмкін, бірақ оны әртүрлі таралу бағыттары мен толқын ұзындығы бар, бірақ барлығы бірдей таралу жылдамдығы c-ге ие жай толқындардың сызықтық комбинациясы ретінде талдауға болады. Бұл мүмкін, өйткені толқын теңдеуі сызықтық және біртекті, сондықтан шешімнің кез келген еселігі де шешім болады, ал кез келген екі шешімнің қосындысы да шешім болады. Бұл қасиет физикада суперпозиция принципі деп аталады. Толқын теңдеуі ғана физикалық шешімді анықтай алмайды; бірегей шешім әдетте толқынның амплитудасы мен фазасын анықтайтын бастапқы шарттар сияқты қосымша шарттармен проблеманы қою арқылы алынады. Тағы бір маңызды проблемалар класы шекаралық шарттармен анықталған жабық кеңістіктерде кездеседі, онда шешімдер тұрақтанған толқындарды немесе музыкалық аспаптардың гармоникаларына ұқсас гармоникаларды көрсетеді. Тұрақтанған толқын өрісін сипаттайтын екі бағытты толқын теңдеуі – екінші реттік гиперболалық дифференциалдық теңдеудің ең қарапайым мысалы. Ол және оның модификациялары үздіксіз механикада, кванттық механикада, плазма физикасында, жалпы салыстырмалылық теориясында, геофизикада және көптеген басқа ғылыми және техникалық салаларда маңызды рөл атқарады. Егер тек бір толқынның алдын ала анықталған бағытта таралуы қызықты болса, онда бірінші реттік бөлшектік дифференциалдық теңдеу – бір бағытты толқын теңдеуін қарастыруға болады.
Толқын теңдеуінің шығарылуы
Бір кеңістіктегі толқын теңдеуін әр түрлі физикалық жағдайларда туынды етуге болады. Ең әйгілісі – екі өлшемді жазықтықта дірілдейтін жіптің жағдайы, онда оның әрбір элементі керілу күшімен қарама-қарсы бағытта тартылады. Бір кеңістіктегі толқын теңдеуін туынды ету үшін тағы бір физикалық жағдай – Хук заңы. Эластикалық теорияда Хук заңы кейбір материалдар үшін жуықтау болып табылады, ол материалдық дененің деформациялану шамасы (қисаю) деформация тудыратын күшпен (кернеу) сызықтық байланыста екенін көрсетеді.
Жалпы өлшемдегі скалярлық толқын теңдеуі және Кирхгофф формулалары
Біз u : 'R'^(n) × (0, ∞) → 'R' үшін 1=utt − Δu = 0 теңдеуіне шешім табуды қалаймыз, мұнда u(x, 0) = g(x) және ut(x, 0) = h(x). Толығырақ ақпарат алу үшін Эванс еңбегіне жүгініңіз.
Үш өлшемді жағдайда біртекті емес ортаның толқын теңдеуі
Бір бағыттағы толқын таралуы үшін, яғни толқын алдын ала анықталған толқын бағытында (немесе) біртекті емес ортада тараса, толқын таралуын тензорлық бір бағыттағы толқын теңдеуімен (векторлық екі бағыттағы толқын теңдеуін факторлау нәтижесінде алынған) есептеуге болады, сондай-ақ талдаулық шешім табу мүмкін.
Басқа координаттық жүйелер
Үш өлшемде толқын теңдеуі, эллипстік цилиндрлік координаттарда жазылғанда, айнымалыларды бөлу әдісімен шешіледі де, нәтижесінде Матье дифференциалдық теңдеуіне келіп тіреледі.