Кіріспе
Математикадағы көпмәнді функция
In mathematics, the Lambert W function, also called the omega function or product logarithm, is a multivalued function, namely the branches of the converse relation of the function 1=f(w) = we^(w), where w is any complex number and e^(w) is the exponential function. The function is named after Johann Lambert, who considered a related problem in 1758. Building on Lambert's work, Leonhard Euler described the W function per se in 1783. For each integer k there is one branch, denoted by Wk(z), which is a complex valued function of one complex argument. W0 is known as the principal branch. These functions have the following property: if z and w are any complex numbers, then
holds if and only if
When dealing with real numbers only, the two branches W0 and W−1 suffice: for real numbers x and y the equation
can be solved for y only if ; gets 1=y = W0(x) if x ≥ 0 and the two values 1=y = W0(x) and 1=y = W−1(x) if
The Lambert W function's branches cannot be expressed in terms of elementary functions. It is useful in combinatorics, for instance, in the enumeration of trees. It can be used to solve various equations involving exponentials (e. g. the maxima of the Planck, Bose–Einstein, and Fermi–Dirac distributions) and also occurs in the solution of delay differential equations, such as 1=y′(t) = a y(t − 1). In biochemistry, and in particular enzyme kinetics, an opened form solution for the time course kinetics analysis of Michaelis–Menten kinetics is described in terms of the Lambert W function.
Математикада Ламберт W функциясы, сондай-ақ омега функциясы немесе көбейтінді логарифмі деп аталады, бұл көпмәнді функция, атап айтқанда функцияның кері қатынасының тармақтары 1=f(w) = we^(w), мұнда w кез келген комплекс сан және e^(w) – экспоненциалдық функция. Функция 1758 жылы осыған байланысты мәселені қарастырған Иоганн Ламберттің есімімен аталған. Ламберттің жұмысына сүйене отырып, Леонард Эйлер 1783 жылы W функциясын сипаттады. Әрбір k бүтін саны үшін Wk(z) арқылы белгіленетін бір тармақ бар, ол бір комплекс аргументтің комплекс бағаланған функциясы. W0 негізгі тармақ ретінде белгілі. Бұл функциялар мынадай қасиетке ие: егер z және w кез келген комплекс сандар болса, онда
In mathematics, the Lambert W function, also called the omega function or product logarithm, is a multivalued function, namely the branches of the converse relation of the function 1=f(w) = we^(w), where w is any complex number and e^(w) is the exponential function. The function is named after Johann Lambert, who considered a related problem in 1758. Building on Lambert's work, Leonhard Euler described the W function per se in 1783. For each integer k there is one branch, denoted by Wk(z), which is a complex valued function of one complex argument. W0 is known as the principal branch. These functions have the following property: if z and w are any complex numbers, then
holds if and only if
When dealing with real numbers only, the two branches W0 and W−1 suffice: for real numbers x and y the equation
can be solved for y only if ; gets 1=y = W0(x) if x ≥ 0 and the two values 1=y = W0(x) and 1=y = W−1(x) if
The Lambert W function's branches cannot be expressed in terms of elementary functions. It is useful in combinatorics, for instance, in the enumeration of trees. It can be used to solve various equations involving exponentials (e. g. the maxima of the Planck, Bose–Einstein, and Fermi–Dirac distributions) and also occurs in the solution of delay differential equations, such as 1=y′(t) = a y(t − 1). In biochemistry, and in particular enzyme kinetics, an opened form solution for the time course kinetics analysis of Michaelis–Menten kinetics is described in terms of the Lambert W function.
орындалады және тек қана егер.
In mathematics, the Lambert W function, also called the omega function or product logarithm, is a multivalued function, namely the branches of the converse relation of the function 1=f(w) = we^(w), where w is any complex number and e^(w) is the exponential function. The function is named after Johann Lambert, who considered a related problem in 1758. Building on Lambert's work, Leonhard Euler described the W function per se in 1783. For each integer k there is one branch, denoted by Wk(z), which is a complex valued function of one complex argument. W0 is known as the principal branch. These functions have the following property: if z and w are any complex numbers, then
holds if and only if
When dealing with real numbers only, the two branches W0 and W−1 suffice: for real numbers x and y the equation
can be solved for y only if ; gets 1=y = W0(x) if x ≥ 0 and the two values 1=y = W0(x) and 1=y = W−1(x) if
The Lambert W function's branches cannot be expressed in terms of elementary functions. It is useful in combinatorics, for instance, in the enumeration of trees. It can be used to solve various equations involving exponentials (e. g. the maxima of the Planck, Bose–Einstein, and Fermi–Dirac distributions) and also occurs in the solution of delay differential equations, such as 1=y′(t) = a y(t − 1). In biochemistry, and in particular enzyme kinetics, an opened form solution for the time course kinetics analysis of Michaelis–Menten kinetics is described in terms of the Lambert W function.
Нақты сандармен ғана жұмыс істегенде, W0 және W−1 екі тармағы жеткілікті: нақты сандар x және y үшін теңдеу
In mathematics, the Lambert W function, also called the omega function or product logarithm, is a multivalued function, namely the branches of the converse relation of the function 1=f(w) = we^(w), where w is any complex number and e^(w) is the exponential function. The function is named after Johann Lambert, who considered a related problem in 1758. Building on Lambert's work, Leonhard Euler described the W function per se in 1783. For each integer k there is one branch, denoted by Wk(z), which is a complex valued function of one complex argument. W0 is known as the principal branch. These functions have the following property: if z and w are any complex numbers, then
holds if and only if
When dealing with real numbers only, the two branches W0 and W−1 suffice: for real numbers x and y the equation
can be solved for y only if ; gets 1=y = W0(x) if x ≥ 0 and the two values 1=y = W0(x) and 1=y = W−1(x) if
The Lambert W function's branches cannot be expressed in terms of elementary functions. It is useful in combinatorics, for instance, in the enumeration of trees. It can be used to solve various equations involving exponentials (e. g. the maxima of the Planck, Bose–Einstein, and Fermi–Dirac distributions) and also occurs in the solution of delay differential equations, such as 1=y′(t) = a y(t − 1). In biochemistry, and in particular enzyme kinetics, an opened form solution for the time course kinetics analysis of Michaelis–Menten kinetics is described in terms of the Lambert W function.
y үшін ғана шешіледі; x ≥ 0 болса 1=y = W0(x) және егер 1=y = W0(x) және 1=y = W−1(x) екі мәніне ие.
In mathematics, the Lambert W function, also called the omega function or product logarithm, is a multivalued function, namely the branches of the converse relation of the function 1=f(w) = we^(w), where w is any complex number and e^(w) is the exponential function. The function is named after Johann Lambert, who considered a related problem in 1758. Building on Lambert's work, Leonhard Euler described the W function per se in 1783. For each integer k there is one branch, denoted by Wk(z), which is a complex valued function of one complex argument. W0 is known as the principal branch. These functions have the following property: if z and w are any complex numbers, then
holds if and only if
When dealing with real numbers only, the two branches W0 and W−1 suffice: for real numbers x and y the equation
can be solved for y only if ; gets 1=y = W0(x) if x ≥ 0 and the two values 1=y = W0(x) and 1=y = W−1(x) if
The Lambert W function's branches cannot be expressed in terms of elementary functions. It is useful in combinatorics, for instance, in the enumeration of trees. It can be used to solve various equations involving exponentials (e. g. the maxima of the Planck, Bose–Einstein, and Fermi–Dirac distributions) and also occurs in the solution of delay differential equations, such as 1=y′(t) = a y(t − 1). In biochemistry, and in particular enzyme kinetics, an opened form solution for the time course kinetics analysis of Michaelis–Menten kinetics is described in terms of the Lambert W function.
Ламберт W функциясының тармақтарын элементар функциялар арқылы өрнектеу мүмкін емес. Ол комбинаторикада, мысалы, ағаштарды санауда пайдалы. Оны экспоненциалдарды қамтитын әртүрлі теңдеулерді шешу үшін қолдануға болады (мысалы, Планк, Бозе–Эйнштейн және Ферми–Дирак үлестірімдерінің максимумдары) және сонымен қатар 1=y′(t) = a y(t − 1 сияқты кешіктірілген дифференциалдық теңдеулерді шешуде кездеседі. Биохимияда, әсіресе фермент кинетикасында, Михаэлис–Ментен кинетикасының уақыт бойынша өзгеруін талдау үшін жабық түрдегі шешім Ламберт W функциясы арқылы сипатталады.
In mathematics, the Lambert W function, also called the omega function or product logarithm, is a multivalued function, namely the branches of the converse relation of the function 1=f(w) = we^(w), where w is any complex number and e^(w) is the exponential function. The function is named after Johann Lambert, who considered a related problem in 1758. Building on Lambert's work, Leonhard Euler described the W function per se in 1783. For each integer k there is one branch, denoted by Wk(z), which is a complex valued function of one complex argument. W0 is known as the principal branch. These functions have the following property: if z and w are any complex numbers, then
holds if and only if
When dealing with real numbers only, the two branches W0 and W−1 suffice: for real numbers x and y the equation
can be solved for y only if ; gets 1=y = W0(x) if x ≥ 0 and the two values 1=y = W0(x) and 1=y = W−1(x) if
The Lambert W function's branches cannot be expressed in terms of elementary functions. It is useful in combinatorics, for instance, in the enumeration of trees. It can be used to solve various equations involving exponentials (e. g. the maxima of the Planck, Bose–Einstein, and Fermi–Dirac distributions) and also occurs in the solution of delay differential equations, such as 1=y′(t) = a y(t − 1). In biochemistry, and in particular enzyme kinetics, an opened form solution for the time course kinetics analysis of Michaelis–Menten kinetics is described in terms of the Lambert W function.
Терминология
Негізгі тармақ W0 математикалық функциялардың цифрлық кітапханасында Wp деп белгіленеді, ал W−1 тармағы Wm деп белгіленеді. Мұнда қолданылған белгілеу ережесі (W0 және W−1) Корлес, Гоннет, Хар, Джеффри және Кнуттың Ламберт W функциясы туралы канондық еңбегіне сәйкес келеді. "Көбейтінді логарифмі" деген атауды былай түсінуге болады: 1 = f(w) = e^(w) функциясының кері функциясы логарифм деп аталатындықтан, we^(w) көбейтіндісінің кері "функциясын" "көбейтінді логарифмі" деп атау логикалық. (Техникалық ескерту: күрделі логарифм сияқты, ол көпмәнді, сондықтан W кері функция емес, кері байланыс ретінде сипатталады.) Ол W0(1) тең болатын омега тұрақтысымен байланысты.
Элементар қасиеттері, салалары мен ауқымы
W функциясының санаулы көптеген тармақтары бар, олар Wk(z) арқылы белгіленеді, мұнда k – бүтін сан; W0(z) – негізгі (немесе бас) тармақ. W0(z) барлық кешенді z сандары үшін анықталған, ал Wk(z), k ≠ 0, барлық нөлдік емес z сандары үшін анықталған. 1=W0(0) = 0 және барлық k ≠ 0 үшін. Негізгі тармақтың тармақ нүктесі , ал теріс нақты ось бойымен −∞-ға дейін созылатын тармақ кесіндісі бар. Бұл тармақ кесіндісі негізгі тармақты W−1 және W1 екі тармағынан бөліп тұрады. Wk тармақтарының барлығында, k ≠ 0, 1=z = 0 нүктесінде тармақ нүктесі және бүкіл теріс нақты ось бойымен тармақ кесіндісі бар. Wk(z) функциялары, k ∈ 'Z', барлығы инъективті және олардың мәндер жиындары бөлек. W функциясының барлық мәндік диапазоны – кешенді жазықтық. Нақты осьтің бейнесі – нақты ось пен Гиппидің квадратриксінің біріндісі, яғни параметрлік қисық 1=w = −t cot t + it.
Интегралды
W(x) функциясы және W(x) қатысатын көптеген басқа өрнектер 1/w = W(x) ауыстыру арқылы интегралдауға болады, яғни 1/x = we^w: (Соңғы теңдеу әдебиетте көбірек кездеседі, бірақ 1/x = 0 болғанда анықталмайды). Мұның бір салдары (1/W₀(e) = 1 екенін ескере отырып) – тепе-теңдік.
(The last equation is more common in the literature but is undefined at 1=x = 0). One consequence of this (using the fact that 1=W0(e) = 1) is the identity
Қарапайым тармақты гидравликалық жүйелердегі уақытқа тәуелді ағын
Ламберт W функциясының негізгі тармағы машина жасау саласында, центрифугалық сорғыларды қолдана отырып, екі резервуар арасындағы Ньютон сұйықтарының уақытқа тәуелді ауысуын зерттеуде пайдаланылады. Ламберт W функциясы ламинарлық және турбулентті режимдердегі сұйық ағынының жылдамдығының нақты шешімін қамтамасыз етеді:
мұндағы – бастапқы ағын жылдамдығы, ал – уақыт.
Нейросуретке түсіру
Ламберт W функциясы нейросуретке түсіру саласында ми вокселі ішіндегі қан ағыны мен оттегі тұтынуының өзгеруін қанның оттегіге қанағаттанған деңгейіне тәуелді (BOLD) сигналымен байланыстыру үшін қолданылады.
Химиялық инженерия
Ламберт W функциясы химиялық инженерия саласында шыны көміртекті негіздес суперконденсатордағы кеуекті электрод қабықшасының қалыңдығын модельдеу үшін қолданылады, ол электрхимиялық энергияны сақтауға арналған. Ламберт W функциясы көміртекті қабықшаның өсуі мен осы қабықшаның жануы бір-бірімен бәсекелес болатын газ фазасындағы жылулық белсендіру процесіне толық шешім ұсынады.
Материалдар ғылымы
Ламберт W функциясы эпитаксиалды қабықтар өсіру саласында критикалық дислокация пайда бола бастайтын қабық қалыңдығын анықтау үшін қолданылады. Бұл эпитаксиалды қабықтың есептелген қалыңдығы болып табылады, онда термодинамикалық принциптерге сәйкес, қабықтағы жиналған серпімді энергияны азайту мақсатында кристаллографиялық дислокациялар пайда болады. Ламберт W функциясын осы мәселеге қолданудан бұрын, критикалық қалыңдық жасырын теңдеуді шешу арқылы анықталуға тиіс болды. Ламберт W оны аналитикалық түрде оңай өңдеуге мүмкіндік беретін айқын теңдеуге айналдырады.
Кеспекті орта
Ламберт W функциясы саңылаулы ортадағы сұйық ағыны саласында екі гравитациялық бөлінген сұйықтықты бөлетін интерфейстің еңісін модельдеу үшін қолданылған. Бұл модель біртекті көлбеу саңылаулы төсектің тұрақты қалыңдығындағы жағдайды қарастырады, онда төменгі жағынан құйылған ауыр сұйықтық, жоғарғы жағынан бірдей жылдамдықпен алынатын жеңіл сұйықтықты ығыстырады. Шешімнің негізгі тармағы тұрақты ығыстыруға сәйкес келеді, ал -1 тармағы ығыстыру тұрақсыз болғанда қолданылады, яғни ауыр сұйықтық жеңіл сұйықтықтың астынан ағып өтеді.
Статистика
Симметрияланған Куллбек-Лейблер дивергенциясына (Джеффрис дивергенциясы деп те аталады) қатысты анықталған гистограммалар жиынының центройы Ламберт W функциясын қолдану арқылы жабық түрде өрнектеледі.
Жұқпалы ауруларға арналған тесттерді біріктіру
Кем дегенде бір адамның жұқтырылғанын анықтау үшін тестілерді біріктіруге арналған оңтайлы топ мөлшерін табу Ламберт W функциясын қолдануды қажет етеді.
QCD жұптастыру тұрақтысының нақты шешімі
Кванттық хромодинамикада, күшті өзара әрекеттесудің кванттық өріс теориясында, жұптасу тұрақтысы тосқауылдау арқылы есептеледі, мұндағы n реті Фейнман диаграммаларындағы n кванттық циклға сәйкес келеді. Бірінші реттегі, n=1, шешім дәл (сол рет бойынша) және аналитикалық болып табылады. Жоғары реттерде, n>1, нақты және аналитикалық шешім жоқ, сондықтан әдетте жуық шешім алу үшін итерациялық әдіс қолданылады. Дегенмен, екінші ретте, n=2, Ламберт функциясы нақты (бірақ аналитикалық емес) шешім ұсынады.
Полимер қоспаларының фазалық бөлінуі
Эдмонд Огстон моделі бойынша термодинамикалық жараспайтын полимер қоспаларының фазалық диаграммасын есептеуде, бинодаль және байланыс сызықтарының шешімдері Ламберт W функциялары арқылы беріледі.
D-өлшектік ғаламдағы Виеннің орын ауыстыру заңы
Виеннің орын ауыстыру заңы келесідей өрнектеледі: With және , мұнда – спектрлік энергия тығыздығы болса, мынаны табуға болады , мұнда – кеңістіктік трансляция үшін бостандық дәрежесінің саны. Бұл шешім спектрлік энергия тығыздығының әлемнің өлшемділігіне тәуелді екенін көрсетеді.
AdS/CFT хат алмасуы
Үлкен магнондардың, жалғыз шыңдардың және GKP тізбектерінің дисперсиялық байланыстарына классикалық өлшемді түзетулер Ламберт W функциясы түрінде өрнектеледі.
Эпидемиология
SIR моделінің t → ∞ шегінде сезімтал және жазылған адамдардың үлесі Ламберт W функциясы арқылы шешіледі.
Оқпанның ұшу уақытын анықтау
Ауа кедергісі жылдамдыққа пропорционалды болатын снарядтың қозғалыс уақытын Ламберт W функциясын қолдану арқылы дәл анықтауға болады.
Электромагниттік беткі толқын таралуы
Цилиндрлі металл сымда таралатын электромагниттік осьтік симметриялық беткі толқынның (төмен жіктелулі бір TM01 режимі) таралу толқын нөмірін анықтауда туындайтын трансценденттік теңдеу 1=u ln u = v (мұнда u және v проблеманың геометриялық және физикалық факторларын біріктіреді) Ламберт W функциясымен шешіледі. Бұл мәселенің алғашқы шешімі, шамамен 1898 жылы Зоммерфельд еңбегінде, Ламберт W функциясының мәнін анықтау үшін итерациялық әдіс қамтылған.
Нақты эллипстердің ортогональды траекториялары
Ортасы нүктеде орналасқан эллипстер отбасы эксцентриситет арқылы параметрленеді. Осы отбасының ортогональды траекториялары дифференциалдық теңдеу арқылы беріледі, оның жалпы шешімі – отбасы.
Бағдарламалық жасақтама
Ламберт W функциясы Maple жүйесінде LambertW, GP жүйесінде lambertw (және PARI жүйесінде glambertW), Matlab жүйесінде lambertw, сондай-ақ Octave жүйесінде specfun пакетімен lambert w, Maxima жүйесінде ProductLog (тыныш псевдоним LambertW-мен), Mathematica жүйесінде lambertw, Python scipy арнайы функциялар пакетінде lambertw, Perl жүйесінің ntheory модулінде LambertW, ал GNU Ғылыми кітапханасының (GSL) арнайы функциялар бөлімінде gsl sf lambert W0 және gsl sf lambert Wm1 функциялары ретінде іске асырылған. Boost C++ кітапханаларында шақырулар lambert w0, lambert wm1, lambert w0 prime және lambert wm1 prime болып табылады. R жүйесінде Ламберт W функциясы lambertW0 және lambertWm1 функциялары ретінде lamW пакеті арқылы іске асырылады. Комплексті Ламберт W функциясының барлық тармақтарына арналған C++ коды Иштван Мезоның жеке бетінде қолжетімді.