Кіріспе
Спинорлық бунделдегі бірінші реттік дифференциалдық сызықтық оператор, оның квадраты Лапласиан болады. Математика мен кванттық механикада Дирак операторы – Лапласиан сияқты екінші реттік оператордың формалды квадрат түбірі немесе жартылай итерациясы болып табылатын дифференциалдық оператор. Бастапқыда Пол Диракты Минковский кеңістігі үшін операторды формальды түрде жіктеу мақсатымен мазалады, арнайы салыстырмалылық теориясымен үйлесімді кванттық теорияның нұсқасын алу үшін; қажетті Лапласианды бірінші реттік операторлардың көбейтіндісі түрінде алу үшін ол спинорларды енгізді. Ол алғаш рет 1928 жылы Дирактың еңбегінде жарияланды.
In mathematics and quantum mechanics, a Dirac operator is a differential operator that is a formal square root, or half iterate, of a second order operator such as a Laplacian. The original case which concerned Paul Dirac was to factorise formally an operator for Minkowski space, to get a form of quantum theory compatible with special relativity; to get the relevant Laplacian as a product of first order operators he introduced spinors. It was first published in 1928 by Dirac.
Ресми анықтама
Жалпы, D болсын – Римандық көпқырлы M үстіндегі V векторлық шоғына әрекет ететін бірінші ретті дифференциалдық оператор. Егер ∆ – V-нің Лаплас операторы болса, онда D Дирак операторы деп аталады. Жоғары энергиялық физикада бұл талап көбінесе жеңілдетіледі: D²-нің екінші ретті мүшесі ғана Лаплас операторына тең болуы керек.
where ∆ is the Laplacian of V, then D is called a Dirac operator. In high energy physics, this requirement is often relaxed: only the second order part of D2 must equal the Laplacian.
1-ші мысал
D = −i ∂x — тура сызық үстіндегі тангенциалдық жиынтықтағы Дирак операторы.
2-ші мысал
Физикада маңызды бір қарапайым тұжырымды қарастырайық: спині жазықтыққа шектелген бөлшектің конфигурациялық кеңістігі, ол сонымен қатар базалық көптүрлілік болып табылады. Ол ψ: R2 → C2 толқындық функциясы арқылы бейнеленеді, мұнда x және y – R2-дегі стандартты координаттық функциялар. χ бөлшектің спин жоғары (spin up) күйінде болу ықтималдық амплитудасын, ал η сол сияқты анықтайды. Осылайша, спиндік Дирак операторын былай жазуға болады:
where x and y are the usual coordinate functions on R2. χ specifies the probability amplitude for the particle to be in the spin up state, and similarly for η. The so called spin Dirac operator can then be written
where σi are the Pauli matrices. Note that the anticommutation relations for the Pauli matrices make the proof of the above defining property trivial. Those relations define the notion of a Clifford algebra. Solutions to the Dirac equation for spinor fields are often called harmonic spinors.
мұнда σi – Паули матрицалары. Паули матрицаларының антикоммутациялық қатынастары жоғарыдағы анықтамалық қасиеттің дәлелдемесін тривиальды етеді. Осы қатынастар Клиффорд алгебрасы ұғымын анықтайды. Спинорлық өрістерге арналған Дирак теңдеуінің шешімдері көбінесе гармоникалық спинорлар деп аталады.
where x and y are the usual coordinate functions on R2. χ specifies the probability amplitude for the particle to be in the spin up state, and similarly for η. The so called spin Dirac operator can then be written
where σi are the Pauli matrices. Note that the anticommutation relations for the Pauli matrices make the proof of the above defining property trivial. Those relations define the notion of a Clifford algebra. Solutions to the Dirac equation for spinor fields are often called harmonic spinors.
4-ші мысал
Клиффорд талдауында тағы бір Дирак операторы туындайды. Евклидтік n кеңістікте бұл мынадай:
мұнда {eⱼ: j = 1, …, n} – евклидтік n кеңістіктің ортонормалдық базасы, ал Rⁿ Клиффорд алгебрасына енгізілген деп есептеледі. Бұл спинорлық шоғырдың қималарына әсер ететін Атия-Зингер-Дирак операторының ерекше жағдайы.
5-ші мысал
Спиндік көпқырлы M үшін Атия-Сингер-Дирак операторы жергілікті түрде былай анықталады: x ∈ M және e1(x), …, ej(x) нүктесі x-те M-нің жанама кеңістігінің жергілікті ортонормалды базасы үшін Атия-Сингер-Дирак операторы
тең. Мұндағы – спиндік байланыс, M-дегі Леви-Чивита байланысының M-дегі спинор шоғына көтерілісі. Бұл жағдайда квадрат Лапласиан емес, оның орнына , мұндағы – байланыстың скалярлық қисықтығы.