Введение
Дифференциальный линейный оператор первого порядка на спинорном расслоении, чей квадрат является лапласианом. В математике и квантовой механике оператор Дирака — это дифференциальный оператор, являющийся формальным квадратным корнем или полуитерацией оператора второго порядка, такого как лапласиан. Изначальная задача, стоявшая перед Полом Дираком, заключалась в формальном разложении оператора для пространства Минковского, чтобы получить форму квантовой теории, согласующуюся со специальной теорией относительности; для получения соответствующего лапласиана как произведения операторов первого порядка он ввел спиноры. Впервые он был опубликован Дираком в 1928 году.
In mathematics and quantum mechanics, a Dirac operator is a differential operator that is a formal square root, or half iterate, of a second order operator such as a Laplacian. The original case which concerned Paul Dirac was to factorise formally an operator for Minkowski space, to get a form of quantum theory compatible with special relativity; to get the relevant Laplacian as a product of first order operators he introduced spinors. It was first published in 1928 by Dirac.
Формальное определение
В общем, пусть D — дифференциальный оператор первого порядка, действующий на векторный расслоение V над римановым многообразием M. Если
где ∆ — лапласиан для V, то D называется оператором Дирака. В физике высоких энергий это требование часто смягчается: достаточно, чтобы вторая производная от D (D²) равнялась лапласиану.
Пример 1
D = −i ∂x — оператор Дирака на касательном расслоении над прямой.
Пример 2
Рассмотрим простой пучок, имеющий важное значение в физике: пространство конфигураций частицы со спином, ограниченной плоскостью, которая также является базовым многообразием. Оно представлено волновой функцией ψ : R2 → C2, где x и y – обычные координатные функции на R2. χ задает амплитуду вероятности нахождения частицы в спиновом состоянии «вверх», и аналогично для η. Так называемый спиновый оператор Дирака может быть записан как
where x and y are the usual coordinate functions on R2. χ specifies the probability amplitude for the particle to be in the spin up state, and similarly for η. The so called spin Dirac operator can then be written
where σi are the Pauli matrices. Note that the anticommutation relations for the Pauli matrices make the proof of the above defining property trivial. Those relations define the notion of a Clifford algebra. Solutions to the Dirac equation for spinor fields are often called harmonic spinors.
где σi – матрицы Паули. Следует отметить, что антикоммутационные соотношения для матриц Паули делают доказательство вышеуказанного определяющего свойства тривиальным. Эти соотношения определяют понятие алгебры Клиффорда. Решения уравнения Дирака для спинорных полей часто называют гармоническими спинорами.
where x and y are the usual coordinate functions on R2. χ specifies the probability amplitude for the particle to be in the spin up state, and similarly for η. The so called spin Dirac operator can then be written
where σi are the Pauli matrices. Note that the anticommutation relations for the Pauli matrices make the proof of the above defining property trivial. Those relations define the notion of a Clifford algebra. Solutions to the Dirac equation for spinor fields are often called harmonic spinors.
Пример 4
Другой оператор Дирака возникает в анализе Клиффорда. В евклидовом n-мерном пространстве он имеет вид
где {eⱼ: j = 1, …, n} — ортонормальный базис евклидова n-мерного пространства, а Rn рассматривается как вложенное в алгебру Клиффорда. Это частный случай оператора Атия — Зингера — Дирака, действующего на сечения спинорного расслоения.
Пример 5
Для спинового многообразия M оператор Атия — Зингера — Дирака определяется локально следующим образом: для x ∈ M и e1(x), …, ej(x) — локального ортонормального базиса для тангентного пространства M в точке x, оператор Атия — Зингера — Дирака равен
где — спинорное соединение, являющееся продолжением соединения Леви-Чивиты на M к спинорному расслоению над M. В этом случае квадрат не является лапласианом, а вместо этого равен , где — скалярная кривизна этого соединения.