Кіріспе

Басты сипаттамасы p болатын сақинада элементтерді p-ші дәрежеге көтеретін функция

Коммутативтік алгебра және өріс теориясында Фробен эндоморфизмі (Фердинанд Георг Фробеннің есімімен аталған) – бұл басты сипаттамасы p болатын коммутативтік сақиналардың ерекше эндоморфизмі, және шекті өрістерді қамтитын маңызды класс. Бұл эндоморфизм әрбір элементті оның p-ші дәрежесіне бейнелейді. Белгілі жағдайларда бұл автоморфизм болып табылады, бірақ бұл әрқашан дұрыс емес.

Фробеньос схемалар үшін

Схема үшін Фробен морфизмін анықтаудың бірнеше әртүрлі жолы бар. Ең негізгісі – абсолютті Фробен морфизмі. Дегенмен, абсолютті Фробен морфизмі салыстырмалы жағдайда тиімсіз болады, себебі ол базалық схеманы ескермейді. Фробен морфизмін салыстырмалы жағдайға бейімдеудің әртүрлі жолдары бар, және олардың әрқайсысы белгілі бір жағдайларда қолданыслы.

Абсолюттік Фробен морфизмі

X-тің сипаттамасы p > 0 болатын схема деп есептейік. X-тің ашық аффиндік ішкі жиынын таңдаңыз. А сақинасы 'F'p алгебрасы, сондықтан ол Фробен эндоморфизмін қабылдайды. Егер V, U-дің ашық аффиндік ішкі жиыны болса, онда Фробеннің табиғаты бойынша, U-дегі Фробен морфизмі V-ге шектелгенде, V-дегі Фробен морфизмі болады. Осылайша, Фробен морфизмі X-тің эндоморфизмін құру үшін бірігеді. Бұл эндоморфизм X-тің абсолютті Фробен морфизмі деп аталады және FX деп белгіленеді. Анықтамасы бойынша, ол X-тің өзімен гомеоморфизмі болып табылады. Абсолютті Фробен морфизмі – 'F'p' схемаларының санатындағы сәйкестік функторынан өзіне табиғи түрлендіру. Егер X – S схемасы болса және S-тің Фробен морфизмі сәйкестік болса, онда абсолютті Фробен морфизмі S схемаларының морфизмі болады. Дегенмен, жалпы жағдайда олай емес. Мысалы, X және S сақиналарын Spec A-ға тең деп қарастырайық, ал X → S құрылымдық бейнелеуі сәйкестік болады. Фробен морфизмі A-дағы a-ны жібереді. Бұл алгебра морфизмі емес. Егер ол болса, онда b элементімен көбейту Фробен эндоморфизмін қолданумен коммутативті болар еді. Бірақ бұл дұрыс емес, себебі: біріншісі – b-нің A сақинасының бастапқы алгебралық құрылымындағы әрекеті, ал екіншісі – Фробеннің тудырған әрекеті. Осыдан келіп, Фробен морфизмі Spec A түріндегі схемалардың морфизмі емес. Абсолютті Фробен морфизмі – p дәрежелі таза ажырамас морфизм. Оның дифференциалы нөлге тең. Ол көбейтінділерді сақтайды, яғни кез келген екі X және Y схемалары үшін .

Жергілікті егістік үшін Frobenius

Жергілікті өрістердің L/K тармақталмаған шекті кеңейтімін қарастыра отырып, Фробен эндоморфизмі бар, ол сәйкес қалдық өрістер кеңейтімінде Фробен эндоморфизмін тудырады. Егер L/K жергілікті өрістердің тармақталмаған кеңейтімі болса, онда K-нің бүтін сандарының OK сақинасы үшін, қалдық өріс, яғни K-нің бүтін сандарының оның бірегей максималдық идеалы φ бойынша қалдығы, q реті бар шекті өріс болады, мұнда q – жай санның дәрежесі. Егер Φ, φ-ге жататын L-дің жай саны болса, L/K тармақталмағандығының анықтамасы бойынша, L модулі Φ бойынша қалдық өріс, K-нің қалдық өрісін кеңейтетін q^f реті бар шекті өріс болады, мұнда f – L/K кеңейтімінің дәрежесі. L-дің OL бүтін сандары сақинасының элементтері үшін Фробен қабатын L-дің sΦ автоморфизмі ретінде анықтауға болады, яғни…

Глобалды кен орындары үшін Фробенус

Алгебралық сандар теориясында Фробен элементтері глобальды өрістердің L/K кеңейтулері үшін анықталады, мұнда L/K – шекті Галуа кеңейтуі және Φ – L-дің бірінші идеалдары, L/K-да тармақталмайтын. Кеңейту тармақталмағандықтан, Φ-ның ыдырау тобы қалдық өрістерінің кеңейтуінің Галуа тобы болып табылады. Фробен элементі L бүтін сандарының сақинасының элементтері үшін жергілікті жағдайдағыдай анықталады, яғни

мұнда q – қалдық өрісінің реті OK/(Φ ∩ OK). Фробеннің көтерілімдері p туындыларымен сәйкес келеді.