Введение

В кольце с простой характеристикой p отображение, возводящее элементы в p-ю степень.

В коммутативной алгебре и теории полей эндоморфизм Фробениуса (в честь Фердинанда Георга Фробениуса) — это специальный эндоморфизм коммутативных колец с простой характеристикой p, важный класс, включающий конечные поля. Этот эндоморфизм отображает каждый элемент в его p-ю степень. В некоторых случаях он является автоморфизмом, но это не всегда так.

Фробенюс для схем

Существует несколько различных способов определения морфизма Фробениуса для схемы. Наиболее фундаментальным является абсолютный морфизм Фробениуса. Однако абсолютный морфизм Фробениуса ведёт себя ненадёжно в относительной ситуации, поскольку он не учитывает базовую схему. Существует несколько различных способов адаптации морфизма Фробениуса к относительной ситуации, и каждый из них полезен в определенных случаях.

Абсолютный морфизм Фробениуса

Предположим, что X – схема характеристики p > 0. Выберите открытое аффинное подмножество X. Кольцо A является F'p-алгеброй, поэтому оно допускает эндоморфизм Фробениуса. Если V – открытое аффинное подмножество U, то по естественности Фробениуса, морфизм Фробениуса на U, при ограничении на V, является морфизмом Фробениуса на V. Следовательно, морфизм Фробениуса склеивается, давая эндоморфизм X. Этот эндоморфизм называется абсолютным морфизмом Фробениуса схемы X и обозначается FX. По определению, это гомеоморфизм X на себя. Абсолютный морфизм Фробениуса является естественным преобразованием от тождественного функтора на категории F'p-схем к самому себе. Если X – S-схема и морфизм Фробениуса S – тождественный, то абсолютный морфизм Фробениуса является морфизмом S-схем. Однако в общем случае это не так. Например, рассмотрим кольцо. Пусть X и S оба равны Spec A, а структура отображения X → S является тождественным. Морфизм Фробениуса на A отображает a в . Он не является морфизмом алгебр. Если бы это было так, то умножение на элемент b из переходило бы с применением эндоморфизма Фробениуса. Но это не так, потому что: первое – это действие b в алгебраической структуре, с которой начинается A, а второе – это действие, индуцированное Фробениусом. Следовательно, морфизм Фробениуса на Spec A не является морфизмом схем. Абсолютный морфизм Фробениуса – чисто неразложимый морфизм степени p. Его дифференциал равен нулю. Он сохраняет произведения, то есть для любых двух схем X и Y, .

Frobenius для местных полей

При условии неразветвленного конечного расширения L/K локальных полей существует понятие эндоморфизма Фробениуса, который индуцирует эндоморфизм Фробениуса в соответствующем расширении полей вычетов. Пусть L/K – неразветвленное расширение локальных полей, с кольцом целых чисел OK поля K, такое что поле вычетов, то есть целые числа K по модулю их единственного максимального идеала φ, является конечным полем порядка q, где q – степень простого числа. Если Φ – простое число в L, лежащее над φ, то неразветвленность L/K по определению означает, что целые числа L по модулю Φ, то есть поле вычетов L, будут конечным полем порядка q^f, расширяющим поле вычетов K, где f – степень расширения L/K. Мы можем определить отображение Фробениуса для элементов кольца целых чисел OL поля L как автоморфизм sΦ поля L, такой что…

Фробеньюс для глобальных месторождений

В алгебраической теории чисел элементы Фробениуса определяются для расширений L/K глобальных полей, являющихся конечными расширениями Галуа, для простых идеалов Φ из L, не разветвленных в L/K. Поскольку расширение не разветвлено, группа разложения идеала Φ совпадает с группой Галуа расширения полей вычетов. Элемент Фробениуса может быть определен для элементов кольца целых чисел L аналогично локальному случаю, как

где q — порядок поля вычетов OK/(Φ ∩ OK). Подъемы Фробениуса находятся в соответствии с p-производными.