Ваннье функциялары: кристалдық құрылымдардағы электрондық күйлерді сипаттау
Wannier function
Ваннье функциялары – қатты дене физикасында қолданылатын ортогоналды функциялар жиынтығы. Кристалл құрылымын, электрондық күйлерді талдауға көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Ванье функциялары – қатты дене физикасында қолданылатын толық ортогональды функциялар жиынтығы. Оларды Грегори Ванье 1937 жылы енгізген. Ванье функциялары – кристаллдық жүйелердің локалданылған молекулалық орбиталдары. Кристаллдағы әртүрлі торлық түйіндерге сәйкес Ванье функциялары ортогональды болып келеді, бұл белгілі жағдайларда электрондық күйлерді кеңейту үшін ыңғайлы негізді қамтамасыз етеді. Ванье функциялары кеңінен қолданылады, мысалы, электрондарға әсер ететін байланыстыру күштерін талдауда.
The Wannier functions are a complete set of orthogonal functions used in solid state physics. They were introduced by Gregory Wannier in 1937. Wannier functions are the localized molecular orbitals of crystalline systems. The Wannier functions for different lattice sites in a crystal are orthogonal, allowing a convenient basis for the expansion of electron states in certain regimes. Wannier functions have found widespread use, for example, in the analysis of binding forces acting on electrons.
Жергілікті жер
Блохтың ψk(r) күйлері белгілі бір гамильтонианның өзіндік функциялары ретінде анықталады, сондықтан олар тек жалпы фазаға дейін ғана анықталады. Функцияларға eiθ(k) фазалық түрлендіруін қолдану арқылы, кез келген (нақты) θ(k) функциясы үшін, бірдей жарамды таңдау жасауға болады. Бұл өзгеріс Блох күйлерінің қасиеттеріне әсер етпесе де, сәйкес Ванье функциялары осы түрлендірудің нәтижесінде айтарлықтай өзгереді. Сондықтан, ең ыңғайлы Ванье функциялары жиынтығын алу үшін Блох күйлерінің фазаларын таңдау мүмкіндігі пайдаланылады. Іс жүзінде, бұл әдетте максималды локалдануға ие жиынтық болып табылады, онда Ванье функциясы φ'R' R нүктесінің маңында локалданып, R-ден алшақтағанда тез нөлге жуықтайды. Бір өлшемді жағдайда Кохн бұл қасиеттерге ие болатын (белгілі бір симметриялар сақталғанда) әрқашан бірегей шешім бар екенін дәлелдеді. Бұл, сәйкесінше, жоғары өлшемдердегі кез келген бөлінетін потенциалға да қатысты; жалпы шарттар әлі белгіленбеген және олар бойынша зерттеулер жалғасуда. Максималды локалдануға ие Ванье функцияларынан (кристалл жүйелеріне Фостер-Бойз схемасының қолданылуы) айырмашылығы, Пипек-Мези Ванье функциялары σ және π орбиталдарын араластырмайды.
The Bloch states ψk(r) are defined as the eigenfunctions of a particular Hamiltonian, and are therefore defined only up to an overall phase. By applying a phase transformation eiθ(k) to the functions ψk(r), for any (real) function θ(k), one arrives at an equally valid choice. While the change has no consequences for the properties of the Bloch states, the corresponding Wannier functions are significantly changed by this transformation. One therefore uses the freedom to choose the phases of the Bloch states in order to give the most convenient set of Wannier functions. In practice, this is usually the maximally localized set, in which the Wannier function ϕ'R' is localized around the point R and rapidly goes to zero away from R. For the one dimensional case, it has been proved by Kohn that there is always a unique choice that gives these properties (subject to certain symmetries). This consequently applies to any separable potential in higher dimensions; the general conditions are not established, and are the subject of ongoing research. Contrary to the maximally localized Wannier functions (which are an application of the Foster Boys scheme to crystalline systems), the Pipek Mezey Wannier functions do not mix σ and π orbitals.
Қатаң нәтижелер
2006 жылы изоляторларда экспоненциалды локальданған Ванье функцияларының болуы математикалық тұрғыдан дәлелденді.
The existence of exponentially localized Wannier functions in insulators was proved mathematically in 2006.
Поляризацияның қазіргі заманғы теориясы
Ванье функциялары жақында кристалдардағы поляризацияны сипаттауда қолданыс тапты, мысалы, ферроэлектриктерде. Поляризацияның қазіргі заманағы теориясын Рафаэль Реста мен Дэвид Вандербильт қадағалады. Мысалы, Бергольд пен Нахмансон еңбектерін, сондай-ақ Вандербильттің PowerPoint презентациясын қараңыз. Қатты денедегі бірлік жасушадағы поляризация Ванье заряд тығыздығының диполь моменті ретінде анықталады:
Wannier functions have recently found application in describing the polarization in crystals, for example, ferroelectrics. The modern theory of polarization is pioneered by Raffaele Resta and David Vanderbilt. See for example, Berghold, and Nakhmanson, and a power point introduction by Vanderbilt. The polarization per unit cell in a solid can be defined as the dipole moment of the Wannier charge density:
мұндағы қосынды барлық толқындық белдеулер бойынша алынады, ал Wn – n-ші белдеудегі жасушаға локалданылған Ванье функциясы. Үздіріссіз физикалық процесте поляризацияның өзгеруі – поляризацияның уақыт бойынша туындысы, және оны толқындық күйлердің Берри фазасы арқылы да тұжырымдауға болады.
where the summation is over the occupied bands, and Wn is the Wannier function localized in the cell for band n. The change in polarization during a continuous physical process is the time derivative of the polarization and also can be formulated in terms of the Berry phase of the occupied Bloch states.