Функции Ваннье: локализация, свойства и применение в физике твердого тела.
Wannier function
Функции Ваннье в физике твердого тела: определение, свойства и применение. Локализованные молекулярные орбитали кристаллов, ортогональность, анализ связей.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Функции Ванье — это полный набор ортогональных функций, используемых в физике твердого тела. Они были введены Грегори Ванье в 1937 году. Функции Ванье представляют собой локализованные молекулярные орбитали кристаллических систем. Функции Ванье, соответствующие различным узлам кристаллической решетки, ортогональны, что обеспечивает удобную базу для разложения электронных состояний в определенных случаях. Функции Ванье получили широкое распространение, например, при анализе сил связи, действующих на электроны.
The Wannier functions are a complete set of orthogonal functions used in solid state physics. They were introduced by Gregory Wannier in 1937. Wannier functions are the localized molecular orbitals of crystalline systems. The Wannier functions for different lattice sites in a crystal are orthogonal, allowing a convenient basis for the expansion of electron states in certain regimes. Wannier functions have found widespread use, for example, in the analysis of binding forces acting on electrons.
Локализация
Состояния Блоха ψk(r) определяются как собственные функции конкретного гамильтониана и, следовательно, определены только с точностью до общей фазы. Применяя фазовое преобразование eiθ(k) к функциям ψk(r), для любой (действительной) функции θ(k), можно получить равнозначный выбор. Хотя это изменение не влияет на свойства состояний Блоха, соответствующие функции Ванье существенно изменяются под действием этого преобразования. Поэтому используют свободу выбора фаз состояний Блоха, чтобы получить наиболее удобный набор функций Ванье. На практике обычно выбирают максимально локализованный набор, в котором функция Ванье φR локализована вблизи точки R и быстро стремится к нулю при удалении от R. Для одномерного случая Коном доказал, что всегда существует единственный выбор, обеспечивающий эти свойства (при соблюдении определенных симметрий). Это справедливо и для любого потенциала, разделяющегося на независимые составляющие в более высоких размерностях; общие условия пока не установлены и являются предметом текущих исследований. В отличие от максимально локализованных функций Ванье (которые являются применением схемы Фостера-Бойса к кристаллическим системам), функции Ванье Пипека-Мезея не смешивают σ и π орбитали.
The Bloch states ψk(r) are defined as the eigenfunctions of a particular Hamiltonian, and are therefore defined only up to an overall phase. By applying a phase transformation eiθ(k) to the functions ψk(r), for any (real) function θ(k), one arrives at an equally valid choice. While the change has no consequences for the properties of the Bloch states, the corresponding Wannier functions are significantly changed by this transformation. One therefore uses the freedom to choose the phases of the Bloch states in order to give the most convenient set of Wannier functions. In practice, this is usually the maximally localized set, in which the Wannier function ϕ'R' is localized around the point R and rapidly goes to zero away from R. For the one dimensional case, it has been proved by Kohn that there is always a unique choice that gives these properties (subject to certain symmetries). This consequently applies to any separable potential in higher dimensions; the general conditions are not established, and are the subject of ongoing research. Contrary to the maximally localized Wannier functions (which are an application of the Foster Boys scheme to crystalline systems), the Pipek Mezey Wannier functions do not mix σ and π orbitals.
Строгие результаты
Существование экспоненциально локализованных функций Ванье в изоляторах было математически доказано в 2006 году.
The existence of exponentially localized Wannier functions in insulators was proved mathematically in 2006.
Современная теория поляризации
Функции Ванье в последнее время нашли применение в описании поляризации в кристаллах, например, в ферроэлектриках. Современная теория поляризации была разработана Раффаэлем Рестой и Дэвидом Вандербильтом. См., например, работы Бергольда и Нахмансона, а также вводную презентацию Вандербильта. Поляризацию на единичную ячейку в твердом теле можно определить как дипольный момент плотности заряда Ванье:
Wannier functions have recently found application in describing the polarization in crystals, for example, ferroelectrics. The modern theory of polarization is pioneered by Raffaele Resta and David Vanderbilt. See for example, Berghold, and Nakhmanson, and a power point introduction by Vanderbilt. The polarization per unit cell in a solid can be defined as the dipole moment of the Wannier charge density:
где суммирование ведется по занятым зонам, а Wn – функция Ванье, локализованная в ячейке для зоны n. Изменение поляризации в ходе непрерывного физического процесса является производной поляризации по времени и также может быть выражено через фазу Берри занятых блоховских состояний.
where the summation is over the occupied bands, and Wn is the Wannier function localized in the cell for band n. The change in polarization during a continuous physical process is the time derivative of the polarization and also can be formulated in terms of the Berry phase of the occupied Bloch states.