Кіріспе
Математикалық логикада теория, егер оның дәл бір моделі болса (изоморфизмге дейін), категорикалық деп аталады. Мұндай теорияны өзінің моделін анықтайтын, модельдің құрылымын бірегей түрде сипаттайтын деп қарастыруға болады. Бірінші реттік логикада тек шекті модельдері бар теориялар ғана категорикалық бола алады. Жоғары реттік логика шексіз модельдері бар категорикалық теорияларды қамтиды. Мысалы, екінші реттік Пеано аксиомалары категорикалық, олардың домені – натурал сандар жиыны болатын бірегей моделі бар. Модель теориясында категорикалық теория ұғымы кардиналдыққа қатысты нақтыланады. Теория κ-категорикалық (немесе κ-да категорикалық) болып табылады, егер ол κ кардиналдығындағы дәл бір модельге ие болса (изоморфизмге дейін). Морлидің категорикалық теоремасы – егер саналатын тілдегі бірінші реттік теория санаусыз кардиналдықта категорикалық болса, онда ол барлық санаусыз кардиналдықтарда да категорикалық болады деген теорема. Морли теоремасын санаусыз тілдерге кеңейтті: егер тілдің кардиналдығы κ болса және теория кейбір санаусыз кардиналда κ-дан үлкен немесе тең болса, онда ол κ-дан үлкен барлық кардиналдықтарда категорикалық болады.
In model theory, the notion of a categorical theory is refined with respect to cardinality. A theory is κ categorical (or categorical in κ) if it has exactly one model of cardinality κ up to isomorphism. Morley's categoricity theorem is a theorem of stating that if a first order theory in a countable language is categorical in some uncountable cardinality, then it is categorical in all uncountable cardinalities. extended Morley's theorem to uncountable languages: if the language has cardinality κ and a theory is categorical in some uncountable cardinal greater than or equal to κ then it is categorical in all cardinalities greater than κ.
Тарих және мотивация
Освальд Веблен 1904 жылы теорияның барлық модельдері изоморфты болса, оны категорикалық деп анықтады. Жоғарыдағы анықтамадан және Лёвенхайм-Сколем теоремасынан көрініп тұрғандай, шексіз кардиналдығы бар модельі бар кез келген бірінші реттік теория категорикалық бола алмайды. Бұл жағдайда, κ-категорикалықтығының неғұрлым күрделі түсінігіне жетеледі, ол мына сұраққа жауап береді: берілген теория T үшін изоморфизмге дейін қандай κ кардиналдарында дәл бір κ кардиналдығындағы модель бар? Бұл терең сұрақ және маңызды прогресс тек 1954 жылы Jerzy Łoś байқағанда жасалды: кемінде бір шексіз модельі бар толық теориялар үшін T-нің кейбір κ-да κ-категорикалық болуының үш ғана мүмкіндігі бар: T толығымен категорикалық, яғни T барлық шексіз кардиналдар үшін κ-категорикалық. T санаусыз категорикалық, яғни T егер және тек қана κ санаусыз кардинал болса, онда κ-категорикалық. T саналатын категорикалық, яғни T егер және тек қана κ саналатын кардинал болса, онда κ-категорикалық. Басқаша айтқанда, ол ойлап тапқан барлық жағдайларда, кез келген санаусыз кардинал үшін κ-категорикалықтық барлық басқа санаусыз кардиналдар үшін κ-категорикалықтыққа алып келді. Бұл байқау 1960 жылдары көптеген зерттеулерге түрткі болды, нәтижесінде Майкл Морлидің атақты нәтижесіне жетіп, бұл шын мәнінде жалғыз мүмкіндіктер екені анықталды. Теорияны кейіннен 1970 жылдары және одан кейін Сахарон Шелах кеңейтіп, жетілдірді, бұл тұрақтылық теориясына және Шелахтың классификация теориясының жалпы бағдарламасына әкелді.
T is totally categorical, i. e. T is κ categorical for all infinite cardinals κ.
T is uncountably categorical, i. e. T is κ categorical if and only if κ is an uncountable cardinal. T is countably categorical, i. e. T is κ categorical if and only if κ is a countable cardinal. In other words, he observed that, in all the cases he could think of, κ categoricity at any one uncountable cardinal implied κ categoricity at all other uncountable cardinals. This observation spurred a great amount of research into the 1960s, eventually culminating in Michael Morley's famous result that these are in fact the only possibilities. The theory was subsequently extended and refined by Saharon Shelah in the 1970s and beyond, leading to stability theory and Shelah's more general programme of classification theory.
Мысалдар
Кейбір санаулы кардиналдарда категорикалық болатын теориялардың табиғи мысалдары көп емес. Белгілі мысалдарға мыналар жатады: Таза сәйкестік теориясы (функцияларсыз, константаларсыз, "=" немесе аксиомалардан басқа предикаттарсыз). Классикалық мысал – берілген сипаттамасы бар алгебралық жабық өрістердің теориясы. Категоризм 0 сипаттамасы бар барлық алгебралық жабық өрістердің күрделі сандар C-ге тең екенін айтпайды; ол тек олардың C өрістері ретінде изоморфты екенін мәлімдейді. Осыдан, толықтырылған p-адикалық жабылу Cp-лердің бәрі C өрістері ретінде изоморфты болғанымен, олардың топологиялық және аналитикалық қасиеттері мүлдем басқа болуы мүмкін (және шындығында басқа). Берілген сипаттамасы бар алгебралық жабық өрістердің теориясы ω (санаулы шексіз кардинал) бойынша категорикалық емес; 0, 1, 2, …, ω трансценденттік дәрежесінің модельдері бар. Берілген санаулы өрістегі векторлық кеңістіктер. Бұған берілген жайқы көрсеткіштің абельдік топтары (негізінен шекті өріс бойынша векторлық кеңістіктерге ұқсас) және бөлінетін бұрылыссыз абельдік топтар (негізінен рационалдар бойынша векторлық кеңістіктерге ұқсас) кіреді. Мұрагерлік функциясы бар табиғи сандар жиынының теориясы. Сондай-ақ, ω-да категорикалық, бірақ санаусыз кардиналдарда категорикалық емес теориялардың мысалдары бар. Ең қарапайым мысал – дәл екі эквиваленттік классы бар эквиваленттік қатынас теориясы, олардың екеуі де шексіз. Тағы бір мысал – соңғы нүктелері жоқ тығыз сызықтық реттердің теориясы; Кантор кез келген осындай санаулы сызықтық реттің рационал сандарға изоморфты екенін дәлелдеді: Кантордың изоморфизм теоремасын қараңыз.
Pure identity theory (with no functions, constants, predicates other than "=", or axioms). The classic example is the theory of algebraically closed fields of a given characteristic. Categoricity does not say that all algebraically closed fields of characteristic 0 as large as the complex numbers C are the same as C; it only asserts that they are isomorphic as fields to C. It follows that although the completed p adic closures Cp are all isomorphic as fields to C, they may (and in fact do) have completely different topological and analytic properties. The theory of algebraically closed fields of a given characteristic is not categorical in ω (the countable infinite cardinal); there are models of transcendence degree 0, 1, 2, , ω.
Vector spaces over a given countable field. This includes abelian groups of given prime exponent (essentially the same as vector spaces over a finite field) and divisible torsion free abelian groups (essentially the same as vector spaces over the rationals). The theory of the set of natural numbers with a successor function. There are also examples of theories that are categorical in ω but not categorical in uncountable cardinals. The simplest example is the theory of an equivalence relation with exactly two equivalence classes, both of which are infinite. Another example is the theory of dense linear orders with no endpoints; Cantor proved that any such countable linear order is isomorphic to the rational numbers: see Cantor's isomorphism theorem.
Қасиеттері
Кез келген категориялық теория толық. Дегенмен, керісінше дұрыс емес. Белгілі бір шексіз кардинал κ-да категориялық болатын кез келген теория T толық болуға өте жақын. Нақтырақ айтқанда, Лось-Воут тестісі мынаны күйеді: егер қанағаттандырылатын теорияда шекті модельдер болмаса және ол өзінің тілінің кардиналдығынан кем емес, белгілі бір шексіз кардинал κ-да категориялық болса, онда бұл теория толық болады. Бұның себебі – Лёвенхайм-Сколем теоремасы бойынша, барлық шексіз модельдер кардиналы κ болатын кейбір модельге бірінші реттік эквивалентті болады, ал теория κ-да категориялық болғандықтан, олардың барлығы да эквивалентті. Сондықтан, барлық модельдер эквивалентті болғандықтан теория толық. Теорияның шекті модельдері болмауы шарты қажет.