Введение
В математической логике теория называется категорической, если она имеет ровно одну модель (с точностью до изоморфизма). Такую теорию можно рассматривать как определяющую свою модель, однозначно характеризующую структуру этой модели. В логике первого порядка категоричными могут быть только теории с конечной моделью. Логика высшего порядка содержит категорические теории с бесконечной моделью. Например, аксиомы Пеано второго порядка являются категорическими, имея единственную модель, область определения которой является множеством натуральных чисел.
В теории моделей понятие категорической теории уточняется относительно кардинальности. Теория называется κ-категорической (или категорической в κ), если она имеет ровно одну модель кардинальности κ с точностью до изоморфизма. Теорема категоричности Морли утверждает, что если теория первого порядка в счетном языке является категорической в некоторой несчётной кардинальности, то она является категорической во всех несчётных кардинальностях. Теорема Морли была расширена на несчётные языки: если язык имеет кардинальность κ и теория категорична в некотором несчётном кардинале, большем или равном κ, то она категорична во всех кардинальностях, больших чем κ.
История и мотивация
Освальд Веблен в 1904 году определил теорию как категорическую, если все её модели изоморфны. Из вышеприведенного определения и теоремы Лёвенхайма-Школема следует, что любая теория первого порядка с моделью бесконечной кардинальности не может быть категорической. Это приводит к более тонкому понятию κ-категоричности, которое ставит вопрос: для каких кардиналов κ существует ровно одна модель кардинальности κ данной теории T с точностью до изоморфизма? Это глубокий вопрос, и существенный прогресс был достигнут лишь в 1954 году, когда Ежи Лось заметил, что, по крайней мере, для полных теорий T над счетными языками с хотя бы одной бесконечной моделью, он смог выделить только три способа, которыми T может быть κ-категоричной для некоторого κ:
T является абсолютно категоричной, то есть T является κ-категоричной для всех бесконечных кардиналов κ.
T является несчетно категоричной, то есть T является κ-категоричной тогда и только тогда, когда κ является несчетным кардиналом. T является счетно категоричной, то есть T является κ-категоричной тогда и только тогда, когда κ является счетным кардиналом. Иными словами, он заметил, что во всех рассматриваемых им случаях κ-категоричность при каком-либо несчетном кардинале подразумевала κ-категоричность при всех остальных несчетных кардиналах. Это наблюдение стимулировало значительные исследования в 1960-х годах, которые в конечном итоге привели к знаменитому результату Майкла Морли о том, что это, фактически, единственно возможные варианты. Теория была впоследствии расширена и уточнена Сахароном Шелахом в 1970-х годах и позднее, что привело к теории стабильности и более общей программе классификации теории Шелаха.
T is uncountably categorical, i. e. T is κ categorical if and only if κ is an uncountable cardinal. T is countably categorical, i. e. T is κ categorical if and only if κ is a countable cardinal. In other words, he observed that, in all the cases he could think of, κ categoricity at any one uncountable cardinal implied κ categoricity at all other uncountable cardinals. This observation spurred a great amount of research into the 1960s, eventually culminating in Michael Morley's famous result that these are in fact the only possibilities. The theory was subsequently extended and refined by Saharon Shelah in the 1970s and beyond, leading to stability theory and Shelah's more general programme of classification theory.
Примеры
Не так много естественных примеров теорий, которые являются категоричными в некоторых несчётных кардиналах. Известные примеры включают:
Чистая теория тождества (без функций, констант, предикатов, кроме "=", или аксиом). Классическим примером является теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики. Категоричность не означает, что все алгебраически замкнутые поля характеристики 0, столь же большие, как комплексные числа C, идентичны C; она лишь утверждает, что они изоморфны C как поля. Следовательно, хотя завершённые p-адические замыкания Cp все изоморфны C как поля, они могут (и действительно) иметь совершенно различные топологические и аналитические свойства. Теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики не является категоричной в ω (счётном бесконечном кардинале); существуют модели степени трансцендентности 0, 1, 2, ..., ω. Векторные пространства над заданным счётным полем. Это включает в себя абелевы группы заданного простого показателя (по сути то же самое, что векторные пространства над конечным полем) и делимые, свободные от кручения абелевы группы (по сути то же самое, что векторные пространства над рациональными числами). Теория множества натуральных чисел с функцией следования. Существуют также примеры теорий, которые являются категоричными в ω, но не категоричными в несчётных кардиналах. Самый простой пример – теория отношения эквивалентности с ровно двумя классами эквивалентности, оба из которых бесконечны. Другой пример – теория плотных линейных порядков без конечных точек; Кантор доказал, что любой такой счётный линейный порядок изоморфен рациональным числам: см. теорему об изоморфизме Кантора.
Pure identity theory (with no functions, constants, predicates other than "=", or axioms). The classic example is the theory of algebraically closed fields of a given characteristic. Categoricity does not say that all algebraically closed fields of characteristic 0 as large as the complex numbers C are the same as C; it only asserts that they are isomorphic as fields to C. It follows that although the completed p adic closures Cp are all isomorphic as fields to C, they may (and in fact do) have completely different topological and analytic properties. The theory of algebraically closed fields of a given characteristic is not categorical in ω (the countable infinite cardinal); there are models of transcendence degree 0, 1, 2, , ω.
Vector spaces over a given countable field. This includes abelian groups of given prime exponent (essentially the same as vector spaces over a finite field) and divisible torsion free abelian groups (essentially the same as vector spaces over the rationals). The theory of the set of natural numbers with a successor function. There are also examples of theories that are categorical in ω but not categorical in uncountable cardinals. The simplest example is the theory of an equivalence relation with exactly two equivalence classes, both of which are infinite. Another example is the theory of dense linear orders with no endpoints; Cantor proved that any such countable linear order is isomorphic to the rational numbers: see Cantor's isomorphism theorem.
Свойства
Каждая категорическая теория полна. Однако обратное неверно. Любая теория T, категоричная в некотором бесконечном кардинале κ, очень близка к полноте. Более точно, тест Лоша–Вотта утверждает, что если выполнимая теория не имеет конечных моделей и является категоричной в некотором бесконечном кардинале κ, не меньшем кардинальности её языка, то теория полна. Причина в том, что все бесконечные модели первого порядка эквивалентны некоторой модели кардинальности κ по теореме Лёвенхайма–Школема, и, следовательно, все они эквивалентны, поскольку теория категорична в κ. Таким образом, теория полна, так как все модели эквивалентны. Необходимо, чтобы теория не имела конечных моделей.