Кіріспе

Шектеулі абельді кеңейтулер мен жалпыланған идеалдық топтар арасындағы сәйкестік. Сыныптар өрісі теориясында Такагидің барлық кеңейтулер туралы теоремасы, кез келген сандық өріс K үшін, K-ның шектеулі абельді кеңейтулері мен K модулі арқылы анықталған жалпыланған идеалдық топтар арасындағы бір-бірге сәйкестік пен инклюзияны керітендігін көрсетеді.

Бұл теорема «барлық кеңейтулер» теоремасы деп аталады, өйткені дәлелдің басты міндеті – K-ның жеткілікті абельді кеңейтулерінің бар екенін көрсету болып табылады.

Формуляциясы

Мұнда модуль (немесе сәулелік бөлгіш) – оң бүтін сан көрсеткіштері бар K-нің бағалауларының (олар да бірінші немесе орын деп аталады) формальді шекті көбейтіндісі. Модульде пайда болатын Архимед бағалары тек толықтықтары нақты сандар (кешенді емес) болатындарымен шектеледі; олар K-дағы реттеулермен сәйкес келеді және тек біреу ретпен ғана кездеседі. Модуль m – архимедтік емес (шекті) бөлігі mf және архимедтік (шекімсіз) бөлігі m∞ көбейтіндісі. Архимедтік емес mf бөлігі – K-нің OK бүтін сандар сақинасындағы нөлдік емес идеал, ал архимедтік m∞ бөлігі – K-нің жай ғана нақты ендірулер жиынтығы. Мұндай модульге m екі топтағы бөлшекті идеалдар байланысты. Үлкені Im – m-ге өзара жай бөлшекті идеалдардың тобы (яғни, бұл бөлшекті идеалдар mf-де кездесетін ешқандай негізгі идеалды қамтымайды). Кішірек Pm – (u/v) түріндегі негізгі бөлшекті идеалдар тобы, мұнда u және v – OK-нің нөлдік емес элементтері, mf-ке өзара жай, u ≡ v (mod mf), және u/v > 0 m∞-ның әрбір реттеуінде. (Pm-де маңыздысы – идеалдың кейбір генераторы көрсетілген формада болуын талап ету. Егер біреуі солай болса, басқалары солай болмауы мүмкін. Мысалы, K-ны рационал сандар деп алғанда, (3) идеалы P4-ке жатады, себебі (3) = (−3) және −3 қажетті шарттарға сәйкес келеді. Бірақ (3) P4∞-ға жатпайды, себебі мұнда идеалдың оң генераторы 1 (mod 4) болуы керек, ал ол солай емес.) Im және Pm арасында жатқан кез келген H тобы үшін Im/H бөлігі жалпыланған идеалдық топ деп аталады. Осы жалпыланған идеалдық топтар K-ның абельдік кеңейтулеріне сәйкес келеді, және шындығында олар осы кеңейтулердің Галуа топтары болып табылады. Жалпыланған идеалдық топтардың шекті екендігі дәлелдеуі дәстүрлі идеалдық топтың шекті екендігінің дәлелдеуімен бірдей, сандар өрісінің шекті абельдік кеңейтулерінің Галуа топтары екенін білгенге дейін.

Жақсы анықталған сәйкестік

Нақты айтқанда, K-ның шекті абельдік кеңейтулері мен жалпыланған идеалдық сыныптар тобы арасындағы сәйкестік толыққанды бір-бірден емес. Әртүрлі модульдерге қатысты анықталған жалпыланған идеалдық сыныптар топтары K-ның бірдей абельдік кеңейтуін тудыруы мүмкін, және бұл жалпыланған идеалдық сыныптар топтарындағы біршама күрделі эквиваленттілік қатынас арқылы алдын ала кодталған. Конкретті айтқанда, рационал сандардың абельдік кеңейтулері L үшін, бұл бір циклотомдық өрісте орналасқан рационалдардың абельдік кеңейтуінің шексіз көп басқа циклотомдық өрістерде де орналасатынымен сәйкес келеді, және әрбір мұндай циклотомдық өріс үшін Галуа теориясы бойынша, сол L өрісіне сәйкес келетін Галуа тобының кіші тобын аламыз. Сыныптық өрістер теориясының идеалдық формулировкасында, абельдік кеңейтулер мен идеалдардың тиісті топтары арасында нақты бір-бірге сәйкестік алынады, мұнда идеалдық теориялық тілдегі эквивалентті жалпыланған идеалдық сыныптар топтары идеалдардың сол тобына сәйкес келеді.

Бұрынғы еңбектері

Бар болу теоремасының ерекше жағдайы m = 1 және H = P1 болғанда туындайды. Бұл жағдайда, жалпыланған идеалдық топтар K-нің идеалдық топтарына айналады, ал бар болу теоремасы K-нің идеалдық тобына изоморфты Галуа тобымен бірегей Абельдік кеңейту L/K-нің бар екенін көрсетеді, мұнда L, K-нің барлық нүктелерінде тармақталмайды. Бұл кеңейту Хилберт сыныптық өрісі деп аталады. Дэвид Гилберт оның бар екенін болжаған, ал бұл ерекше жағдайды Фуртвенглер 1907 жылы, Такагидің жалпы теоремасынан бұрын дәлелдеген. Хилберт сыныптық өрісінің тағы бір ерекше қасиеті – сандық өрістің кішірек Абельдік кеңейтулеріне тән емес – сандық өрістегі барлық идеалдар Хилберт сыныптық өрісінде негізгі болады. Осы негізгіге айналу процесін дәлелдеу үшін Артин мен Фуртвенглердің еңбегі қажет болды.

Тарих

Бар болу теоремасы Такагиге тиесілі, ол оны Бірінші дүниежүзілік соғыстың оқшауланған жылдарында Жапонияда дәлелдеген. Ол 1920 жылы Халықаралық математиктер конгресінде осы теореманы таныстырды, соның нәтижесінде 1920 жылдары сыныптық далалар теориясының классикалық теориясы дамыды. Гилберттің сұрауы бойынша, мақала 1925 жылы Mathematische Annalen журналында жарияланды.