Введение
Соответствие между конечными абелевыми расширениями и обобщенными группами идеальных классов. В теории полей классов теорема существования Такаги утверждает, что для любого числового поля K существует взаимно однозначное соответствие, обратное по включению, между конечными абелевыми расширениями K (в фиксированном алгебраическом замыкании K) и обобщенными группами идеальных классов, определенными посредством модуля K. Она называется теоремой существования, поскольку основная задача доказательства заключается в демонстрации существования достаточного количества абелевых расширений K.
In class field theory, the Takagi existence theorem states that for any number field K there is a one to one inclusion reversing correspondence between the finite abelian extensions of K (in a fixed algebraic closure of K) and the generalized ideal class groups defined via a modulus of K.
It is called an existence theorem because a main burden of the proof is to show the existence of enough abelian extensions of K.
Формулировка
Здесь модуль (или делитель лучей) является формальным конечным произведением оценок (также называемых простыми числами или местами) поля K с положительными целочисленными показателями. Архимедовы оценки, которые могут входить в модуль, включают только те, чьи завершения являются вещественными числами (а не комплексными); они могут быть отождествлены с упорядочениями на K и встречаются только в первой степени. Модуль m представляет собой произведение неархимедовой (конечной) части mf и архимедовой (бесконечной) части m∞. Неархимедова часть mf является ненулевым идеалом в кольце целых чисел OK поля K, а архимедова часть m∞ – просто множество вещественных вложений поля K. С таким модулем m связаны две группы дробных идеалов. Большая из них, Im, – это группа всех дробных идеалов, взаимно простых с m (то есть эти дробные идеалы не содержат ни одного простого идеала, входящего в mf). Меньшая из них, Pm, – это группа главных дробных идеалов (u/v), где u и v – ненулевые элементы OK, взаимно простые с mf, u ≡ v (mod mf) и u/v > 0 в каждом из упорядочений m∞. (Важно отметить, что в Pm требуется лишь, чтобы некоторый генератор идеала имел указанную форму. Если один генератор имеет такую форму, другие могут не иметь. Например, если K – поле рациональных чисел, то идеал (3) принадлежит P4, поскольку (3) = (−3) и −3 удовлетворяет необходимым условиям. Но (3) не принадлежит P4∞, так как здесь требуется, чтобы положительный генератор идеала был сравним с 1 по модулю 4, что не выполняется.) Для любой группы H, лежащей между Im и Pm, частное Im/H называется обобщенной группой классов идеалов. Именно эти обобщенные группы классов идеалов соответствуют абелевым расширениям поля K по теореме о существовании и, фактически, являются группами Галуа этих расширений. Конечность обобщенных групп классов идеалов доказывается аналогично доказательству конечности обычной группы классов идеалов, задолго до того, как будет известно, что они являются группами Галуа конечных абелевых расширений поля чисел.
Хорошо определенное соответствие
Строго говоря, соответствие между конечными абелевыми расширениями поля K и обобщенными группами идеальных классов не является вполне однозначным. Обобщенные группы идеальных классов, определенные относительно различных модулей, могут порождать одно и то же абелево расширение поля K, и это априори кодируется в несколько сложной реляцией эквивалентности на обобщенных группах идеальных классов. Конкретно, для абелевых расширений L рациональных чисел это соответствует тому факту, что абелево расширение рациональных чисел, содержащееся в некотором циклотомическом поле, также содержится в бесконечном числе других циклотомических полей, и для каждого такого циклотомического надполя теорией Галуа определяется подгруппа группы Галуа, соответствующая тому же полю L. В иделической формулировке теории полей классов достигается точное взаимно однозначное соответствие между абелевыми расширениями и соответствующими группами иделей, где эквивалентные обобщенные группы идеальных классов в языке теории идеалов соответствуют одной и той же группе иделей.
In the idelic formulation of class field theory, one obtains a precise one to one correspondence between abelian extensions and appropriate groups of ideles, where equivalent generalized ideal class groups in the ideal theoretic language correspond to the same group of ideles.
Ранние работы
Особый случай теоремы существования наступает при m = 1 и H = P1. В этом случае обобщенная группа классов идеалов совпадает с группой классов идеалов поля K, и теорема существования утверждает, что существует единственное абелево расширение L/K с группой Галуа, изоморфной группе классов идеалов поля K, при котором L не ветвится ни в одной точке поля K. Это расширение называется полем классов Гильберта. Дэвид Гильберт предположил о его существовании, а существование в этом частном случае было доказано Фуртвенглером в 1907 году, до общей теоремы существования, сформулированной Такаги. Дополнительным и специфическим свойством поля классов Гильберта, несвойственным меньшим абелевым расширениям числового поля, является то, что все идеалы в числовом поле становятся главными в поле классов Гильберта. Доказательство того, что происходит переход к главным идеалам, потребовало усилий Артина и Фуртвенглера.
История
Теорема о существовании принадлежит Такаги, который доказал её в Японии в изолированные годы Первой мировой войны. Он представил её на Международном конгрессе математиков в 1920 году, что послужило толчком к развитию классической теории полей классов в 1920-х годах. По просьбе Гильберта, статья была опубликована в Mathematische Annalen в 1925 году.