Кіріспе
Алгебрада, кез келген өрістен алынған коэффициенттері бар полином берілген, оның кері полиномы немесе айналған полиномы, p^(∗) немесе p^(R) арқылы белгіленеді. Яғни, p^(∗) полиномының коэффициенттері p полиномының кері ретпен жазылған коэффициенттерімен сәйкес келеді. Кері полиномдар сызықтық алгебрада матрицаның кері матрицасының сипаттамалық полиномы ретінде табиғи түрде пайда болады. Егер өріс кешендік сандар болса, p^(†) деп белгіленетін конъюгатты кері полином былай анықталады:
with coefficients from an arbitrary field, its reciprocal polynomial or reflected polynomial, denoted by p^(∗) or p^(R),
That is, the coefficients of p^(∗) are the coefficients of p in reverse order. Reciprocal polynomials arise naturally in linear algebra as the characteristic polynomial of the inverse of a matrix. In the special case where the field is the complex numbers, when
the conjugate reciprocal polynomial, denoted p^(†), is defined by,
where denotes the complex conjugate of , and is also called the reciprocal polynomial when no confusion can arise. A polynomial p is called self reciprocal or palindromic if 1=p(x) = p^(∗)(x). The coefficients of a self reciprocal polynomial satisfy 1=ai = an−i for all i.
мұнда - сандың кешендік конъюгаты, және ешқандай шатасу тудырмаса, бұл кері полином деп те аталады. Егер 1=p(x) = p^(∗)(x) болса, полином өзіне кері немесе палиндромдық деп аталады. Өзіне кері полиномның коэффициенттері барлық i үшін 1=ai = an−i шартын қанағаттандырады.
with coefficients from an arbitrary field, its reciprocal polynomial or reflected polynomial, denoted by p^(∗) or p^(R),
That is, the coefficients of p^(∗) are the coefficients of p in reverse order. Reciprocal polynomials arise naturally in linear algebra as the characteristic polynomial of the inverse of a matrix. In the special case where the field is the complex numbers, when
the conjugate reciprocal polynomial, denoted p^(†), is defined by,
where denotes the complex conjugate of , and is also called the reciprocal polynomial when no confusion can arise. A polynomial p is called self reciprocal or palindromic if 1=p(x) = p^(∗)(x). The coefficients of a self reciprocal polynomial satisfy 1=ai = an−i for all i.
Нақты коэффициенттер
Нақты коэффициенттері бар және барлық кешенді түбірлері кешенді жазықтықтағы бірлік шеңберде жатқан көпмүше, палиндромды немесе антипалиндромды болады (яғни, барлық түбірлердің абсолюттік шамасы 1-ге тең).
Қоспалы өзара көптіктер
Көпмүше бірлік шеңбердегі ω масштабтық коэффициенті үшін егер және өзіне кері болса, конъюгатты өзара деп аталады. Егер p(z) z₀-ның минималды көпмүшесі болса, және p(z)-ның нақты коэффициенттері болса, онда p(z) өзіне кері болады. Бұл z₀, n дәрежелі көпмүшенің түбірі болғандықтан, бірақ минималды көпмүше бірегей, сондықтан кейбір тұрақты c үшін, яғни 1=i=0-ден n-ге дейінгі қосынды, және 1 - p-нің түбірі емес екенін ескеру керек. Осыдан 1=c=1 деген қорытынды шығады. Соның салдарынан, циклотомдық Φn көпмүшелері n > 1 үшін өзіне кері болады. Бұл арнайы сандық өріс ілгішінде x^(11) ± 1, x^(13) ± 1, x^(15) ± 1 және x^(21) ± 1 түріндегі сандарды алгебралық факторларды пайдаланып, тиісінше 5, 6, 4 және 6 дәрежелі көпмүшелерді қолдана отырып, факторларға жіктеуге мүмкіндік береді – ескеріңіз, көрсеткіштердің φ (Эйлердің тотиент функциясы) мәндері 10, 12, 8 және 12-ге тең. Кохн теоремасы бойынша, өзіне кері көпмүшенің бірлік дискісінде оның туындысының кері көпмүшесінің түбірлерінің санына тең түбірлері болады.
So z0 is a root of the polynomial which has degree n. But, the minimal polynomial is unique, hence
for some constant c, i. e. Sum from 1=i = 0 to n and note that 1 is not a root of p. We conclude that 1=c = 1. A consequence is that the cyclotomic polynomials Φn are self reciprocal for n > 1. This is used in the special number field sieve to allow numbers of the form x^(11) ± 1, x^(13) ± 1, x^(15) ± 1 and x^(21) ± 1 to be factored taking advantage of the algebraic factors by using polynomials of degree 5, 6, 4 and 6 respectively – note that φ (Euler's totient function) of the exponents are 10, 12, 8 and 12. Per Cohn's theorem, a self inversive polynomial has as many roots in the unit disk as the reciprocal polynomial of its derivative.
Кодтау теориясының қолданылуы
Қайталама полиномиал циклдік қателерді түзету кодтарының теориясында қолданылады. Егер x^(n) − 1 екі полиномның көбейтіндісі түрінде жазыла алатын болса, мысалы, 1=x^(n) − 1 = g(x)p(x), онда g(x) циклдік код C-ні тудырса, p(x)-тың кері полиномы p^(∗) C^(⊥) -ні, C-нің ортогональды толықтыруын тудырады.
Сонымен қатар, C өзін-өзі ортогональды (яғни C ⊆ C^(⊥)), егер және тек қана p^(∗) g(x)-ты бөлетін болса.
Also, C is self orthogonal (that is, C ⊆ C^(⊥)), if and only if p^(∗) divides g(x).