Введение
В алгебре, для многочлена с коэффициентами из произвольного поля, его обратный многочлен или зеркальный многочлен, обозначаемый p^(∗) или p^(R), определяется следующим образом:
with coefficients from an arbitrary field, its reciprocal polynomial or reflected polynomial, denoted by p^(∗) or p^(R),
That is, the coefficients of p^(∗) are the coefficients of p in reverse order. Reciprocal polynomials arise naturally in linear algebra as the characteristic polynomial of the inverse of a matrix. In the special case where the field is the complex numbers, when
the conjugate reciprocal polynomial, denoted p^(†), is defined by,
where denotes the complex conjugate of , and is also called the reciprocal polynomial when no confusion can arise. A polynomial p is called self reciprocal or palindromic if 1=p(x) = p^(∗)(x). The coefficients of a self reciprocal polynomial satisfy 1=ai = an−i for all i.
То есть, коэффициенты p^(∗) являются коэффициентами p, записанными в обратном порядке. Обратные многочлены возникают естественным образом в линейной алгебре как характеристический многочлен обратной матрицы. В частном случае, когда поле является полем комплексных чисел, определяется сопряженный обратный многочлен, обозначаемый p^(†), который задается выражением:
with coefficients from an arbitrary field, its reciprocal polynomial or reflected polynomial, denoted by p^(∗) or p^(R),
That is, the coefficients of p^(∗) are the coefficients of p in reverse order. Reciprocal polynomials arise naturally in linear algebra as the characteristic polynomial of the inverse of a matrix. In the special case where the field is the complex numbers, when
the conjugate reciprocal polynomial, denoted p^(†), is defined by,
where denotes the complex conjugate of , and is also called the reciprocal polynomial when no confusion can arise. A polynomial p is called self reciprocal or palindromic if 1=p(x) = p^(∗)(x). The coefficients of a self reciprocal polynomial satisfy 1=ai = an−i for all i.
где обозначает комплексно сопряженное к , и также называется обратным многочленом, если это не приводит к путанице. Многочлен p называется самообратным или палиндромом, если p(x) = p^(∗)(x) для всех x. Коэффициенты самообратного многочлена удовлетворяют условию a_i = a_{n-i} для всех i.
with coefficients from an arbitrary field, its reciprocal polynomial or reflected polynomial, denoted by p^(∗) or p^(R),
That is, the coefficients of p^(∗) are the coefficients of p in reverse order. Reciprocal polynomials arise naturally in linear algebra as the characteristic polynomial of the inverse of a matrix. In the special case where the field is the complex numbers, when
the conjugate reciprocal polynomial, denoted p^(†), is defined by,
where denotes the complex conjugate of , and is also called the reciprocal polynomial when no confusion can arise. A polynomial p is called self reciprocal or palindromic if 1=p(x) = p^(∗)(x). The coefficients of a self reciprocal polynomial satisfy 1=ai = an−i for all i.
Реальные коэффициенты
Полином с действительными коэффициентами, все комплексные корни которого лежат на единичной окружности на комплексной плоскости (то есть все корни имеют модуль 1), является либо палиндромом, либо антипалиндромом.
Соединенные взаимные многочлены
Полином называется сопряжённо обратным, если , а самообратным, если для некоторого масштабного фактора ω на единичной окружности. Если p(z) – минимальный полином для z0 с , и p(z) имеет действительные коэффициенты, то p(z) является самообратным. Это следует из того, что z0 является корнем многочлена степени n. Но минимальный полином единственен, следовательно, для некоторой константы c, то есть сумма от i = 0 до n, и заметим, что 1 не является корнем p. Отсюда следует, что c = 1. Следствием этого является то, что циклотомические полиномы Φn являются самообратными при n > 1. Это используется в специальном сите числового поля, чтобы позволить факторизовать числа вида x^(11) ± 1, x^(13) ± 1, x^(15) ± 1 и x^(21) ± 1, используя алгебраические факторы и полиномы степеней 5, 6, 4 и 6 соответственно – при этом φ (функция Эйлера) показателей равны 10, 12, 8 и 12. Согласно теореме Кона, самообратный полином имеет столько же корней в единичном диске, сколько и обратный полином его производной.
So z0 is a root of the polynomial which has degree n. But, the minimal polynomial is unique, hence
for some constant c, i. e. Sum from 1=i = 0 to n and note that 1 is not a root of p. We conclude that 1=c = 1. A consequence is that the cyclotomic polynomials Φn are self reciprocal for n > 1. This is used in the special number field sieve to allow numbers of the form x^(11) ± 1, x^(13) ± 1, x^(15) ± 1 and x^(21) ± 1 to be factored taking advantage of the algebraic factors by using polynomials of degree 5, 6, 4 and 6 respectively – note that φ (Euler's totient function) of the exponents are 10, 12, 8 and 12. Per Cohn's theorem, a self inversive polynomial has as many roots in the unit disk as the reciprocal polynomial of its derivative.
Применение в теории кодирования
Взаимный полином находит применение в теории циклических кодов, исправляющих ошибки. Предположим, что x^(n) − 1 можно разложить на произведение двух многочленов, то есть x^(n) − 1 = g(x)p(x). Если g(x) порождает циклический код C, то приведённый полином p*(x) порождает C^(⊥), ортогональное дополнение к C.
Кроме того, код C является самоортогональным (то есть C ⊆ C^(⊥)) тогда и только тогда, когда p*(x) делит g(x).
Also, C is self orthogonal (that is, C ⊆ C^(⊥)), if and only if p^(∗) divides g(x).