Кіріспе
Математикада Хурвицтің автоморфизмдер теоремасы g > 1 туқымдас компактты Риман бетінің автоморфизмдер тобының реттілігін шектейді, ориентацияны сақтайтын конформды бейнелеулер арқылы, мұндай автоморфизмдердің саны 84(g − 1)-ден аспауы керек екенін көрсетеді. Максималды мәнге қол жеткізген топ Хурвиц тобы деп аталады, ал сәйкес Риман беті Хурвиц беті деп аталады. Ықшам Риман беттері сингуляр емес комплекс проективті алгебралық қисықтармен бірдей болғандықтан, Хурвиц беті Хурвиц қисығы деп те аталуы мүмкін. Теорема Адольф Хурвицтің құрметіне аталған, ол оны дәлелдеген.
In mathematics, Hurwitz's automorphisms theorem bounds the order of the group of automorphisms, via orientation preserving conformal mappings, of a compact Riemann surface of genus g > 1, stating that the number of such automorphisms cannot exceed 84(g − 1). A group for which the maximum is achieved is called a Hurwitz group, and the corresponding Riemann surface a Hurwitz surface. Because compact Riemann surfaces are synonymous with non singular complex projective algebraic curves, a Hurwitz surface can also be called a Hurwitz curve. The theorem is named after Adolf Hurwitz, who proved it in
Hurwitz's bound also holds for algebraic curves over a field of characteristic 0, and over fields of positive characteristic p>0 for groups whose order is coprime to p, but can fail over fields of positive characteristic p>0 when p divides the group order. For example, the double cover of the projective line y2 = xp −x branched at all points defined over the prime field has genus g=(p−1)/2 but is acted on by the group SL2(p) of order p3−p.
Хурвицтің шектеуі 0 сипаттамалы өрістегі және p > 0 оң сипаттамалы өрістегі топтар үшін де қолданылады, егер топтың реті p-ге өзіндік жай болса, бірақ p топтың ретін бөлгенде p > 0 оң сипаттамалы өрістерде қолданылмауы мүмкін. Мысалы, проективті түзудің y2 = xp − x түріндегі екі жақты жабылуы, негізгі өрісте анықталған барлық нүктелерде тармақталады және g = (p − 1) / 2 туысына ие, бірақ оған p3 − p реттік SL2(p) тобы әрекет етеді.
In mathematics, Hurwitz's automorphisms theorem bounds the order of the group of automorphisms, via orientation preserving conformal mappings, of a compact Riemann surface of genus g > 1, stating that the number of such automorphisms cannot exceed 84(g − 1). A group for which the maximum is achieved is called a Hurwitz group, and the corresponding Riemann surface a Hurwitz surface. Because compact Riemann surfaces are synonymous with non singular complex projective algebraic curves, a Hurwitz surface can also be called a Hurwitz curve. The theorem is named after Adolf Hurwitz, who proved it in
Hurwitz's bound also holds for algebraic curves over a field of characteristic 0, and over fields of positive characteristic p>0 for groups whose order is coprime to p, but can fail over fields of positive characteristic p>0 when p divides the group order. For example, the double cover of the projective line y2 = xp −x branched at all points defined over the prime field has genus g=(p−1)/2 but is acted on by the group SL2(p) of order p3−p.
Хурвиц топтары мен беттерінің мысалдары
Ең кіші Hurwitz тобы 168 реттік проективті арнайы сызықтық топ PSL(2,7) болып табылады, ал сәйкес келетін қисық Клейн квартикалық қисығы. Бұл топ PSL(3,2) тобына да изоморфты. Келесісі – 504 реттік автоморфизм тобы PSL(2,8) бар Макбит қисығы. Көптеген шекті қарапайым топтар Hurwitz топтары болып табылады; мысалы, 64-тен басқа барлық ауыспалы топтар Hurwitz топтары, ал ең үлкен Hurwitz емес мысал 167 дәрежелі. Hurwitz тобы болып табылатын ең кіші ауыспалы топ – A15. Жоғары дәрежелі проективті арнайы сызықтық топтардың көпшілігі Hurwitz топтары болып табылады, ал төменгі дәрежелі топтар үшін мұндай топтардың Hurwitz болуы сирек. p модулі 7-ге қатысты np үшін, PSL(2,q) тобы тек қана q=7 немесе q=pnp болған жағдайда ғана Hurwitz тобы болады. Шындығында, PSL(3,q) тобы тек қана q=2 болғанда Hurwitz тобы болады, PSL(4,q) тобы ешқашан Hurwitz тобы болмайды, ал PSL(5,q) тобы тек қана q=74 немесе q=pnp болғанда ғана Hurwitz тобы болады. Сонымен қатар, көптеген Lie типті топтар Hurwitz топтары болып табылады. Жоғары дәрежелі шекті классикалық топтар Hurwitz топтары болып табылады, G2 типті ерекше Lie топтары және 2G2 типті Ри топтары көбінесе Hurwitz топтары болып табылады, ал төменгі дәрежелі ерекше және бұрмаланған Lie топтарының басқа отбасылары да Hurwitz топтары болып табылады. Hurwitz топтары ретінде пайда болатын 12 спорадикалық топ бар: Янко топтары J1, J2 және J4, Фишер топтары Fi22 және Fi'24, Рудвалис тобы, Хелд тобы, Томпсон тобы, Харада-Нортон тобы, үшінші Конвей тобы Co3, Лионс тобы және Монстр.
Similarly, many groups of Lie type are Hurwitz. The finite classical groups of large rank are Hurwitz, The exceptional Lie groups of type G2 and the Ree groups of type 2G2 are nearly always Hurwitz, Other families of exceptional and twisted Lie groups of low rank are shown to be Hurwitz in
There are 12 sporadic groups that can be generated as Hurwitz groups: the Janko groups J1, J2 and J4, the Fischer groups Fi22 and Fi'24, the Rudvalis group, the Held group, the Thompson group, the Harada–Norton group, the third Conway group Co3, the Lyons group, and the Monster, .
Жалпылау
Хурвиц бетінің тұжырымдамасын бірнеше жолмен жалпылауға болады, нәтижесінде тек бірнеше туындамалардан басқа барлық туындамаларда мысалдар кездеседі. Ең табиғисы – «максималды симметриялы» бет: оны тең симметриялы беттер арқылы үздіріссіз өзгертуге болмайтын, ал симметриясы бастапқы беттің симметриясын толығымен қамтитын бетке өте алмайтын бет. Бұл барлық бағытталған, компактты туындамалар үшін мүмкін (жоғарыдағы «Төмен туындамалардағы автоморфизм топтары» бөлімін қараңыз).