Введение
Ограничивает порядок группы автоморфизмов компактной поверхности Римана рода g > 1. В математике теорема об автоморфизмах Хурвица ограничивает порядок группы автоморфизмов компактной поверхности Римана рода g > 1, задаваемых сохраняющими ориентацию конформными отображениями, утверждая, что число таких автоморфизмов не может превышать 84(g − 1). Группа, для которой достигается максимум, называется группой Хурвица, а соответствующая поверхность Римана — поверхностью Хурвица. Поскольку компактные поверхности Римана являются синонимом невырожденных комплексных проективных алгебраических кривых, поверхность Хурвица также может называться кривой Хурвица. Теорема названа в честь Адольфа Хурвица, который доказал её.
In mathematics, Hurwitz's automorphisms theorem bounds the order of the group of automorphisms, via orientation preserving conformal mappings, of a compact Riemann surface of genus g > 1, stating that the number of such automorphisms cannot exceed 84(g − 1). A group for which the maximum is achieved is called a Hurwitz group, and the corresponding Riemann surface a Hurwitz surface. Because compact Riemann surfaces are synonymous with non singular complex projective algebraic curves, a Hurwitz surface can also be called a Hurwitz curve. The theorem is named after Adolf Hurwitz, who proved it in
Hurwitz's bound also holds for algebraic curves over a field of characteristic 0, and over fields of positive characteristic p>0 for groups whose order is coprime to p, but can fail over fields of positive characteristic p>0 when p divides the group order. For example, the double cover of the projective line y2 = xp −x branched at all points defined over the prime field has genus g=(p−1)/2 but is acted on by the group SL2(p) of order p3−p.
Ограничение Хурвица также справедливо для алгебраических кривых над полем характеристики 0 и над полями положительной характеристики p > 0 для групп, порядок которых взаимно прост с p, но может не выполняться над полями положительной характеристики p > 0, когда p делит порядок группы. Например, двойное накрытие проективной прямой y² = xᵖ − x, разветвленное во всех точках, определенных над простым полем, имеет род g = (p − 1)/2 и действует группа SL₂(p) порядка p³ − p.
In mathematics, Hurwitz's automorphisms theorem bounds the order of the group of automorphisms, via orientation preserving conformal mappings, of a compact Riemann surface of genus g > 1, stating that the number of such automorphisms cannot exceed 84(g − 1). A group for which the maximum is achieved is called a Hurwitz group, and the corresponding Riemann surface a Hurwitz surface. Because compact Riemann surfaces are synonymous with non singular complex projective algebraic curves, a Hurwitz surface can also be called a Hurwitz curve. The theorem is named after Adolf Hurwitz, who proved it in
Hurwitz's bound also holds for algebraic curves over a field of characteristic 0, and over fields of positive characteristic p>0 for groups whose order is coprime to p, but can fail over fields of positive characteristic p>0 when p divides the group order. For example, the double cover of the projective line y2 = xp −x branched at all points defined over the prime field has genus g=(p−1)/2 but is acted on by the group SL2(p) of order p3−p.
Примеры групп и поверхностей Хурвица
Самая маленькая группа Хурвица — проективная специальная линейная группа PSL(2,7) порядка 168, а соответствующая кривая — квартика Клейна. Эта группа также изоморфна PSL(3,2). Далее следует кривая Макбита с группой автоморфизмов PSL(2,8) порядка 504. Многие другие конечные простые группы являются группами Хурвица; например, все, кроме 64 чередующихся групп, являются группами Хурвица, при этом наибольший пример не являющийся группой Хурвица имеет степень 167. Наименьшая чередующаяся группа, являющаяся группой Хурвица, — это A15. Большинство проективных специальных линейных групп большого ранга являются группами Хурвица, в то время как для групп меньшего ранга таких групп меньше. Для np, порядка p по модулю 7, выполняется условие, что PSL(2,q) является группой Хурвица тогда и только тогда, когда q = 7 или q = pnp. Действительно, PSL(3,q) является группой Хурвица тогда и только тогда, когда q = 2, PSL(4,q) никогда не является группой Хурвица, а PSL(5,q) является группой Хурвица тогда и только тогда, когда q = 74 или q = pnp. Аналогично, многие группы типа Ли являются группами Хурвица. Существует 12 спорадических групп, которые могут быть представлены как группы Хурвица: группы Янко J1, J2 и J4, группы Фишера Fi22 и Fi'24, группа Рудвалиса, группа Хелда, группа Томпсона, группа Харада — Нортона, третья группа Конвея Co3, группа Лайонса и Монстр.
Similarly, many groups of Lie type are Hurwitz. The finite classical groups of large rank are Hurwitz, The exceptional Lie groups of type G2 and the Ree groups of type 2G2 are nearly always Hurwitz, Other families of exceptional and twisted Lie groups of low rank are shown to be Hurwitz in
There are 12 sporadic groups that can be generated as Hurwitz groups: the Janko groups J1, J2 and J4, the Fischer groups Fi22 and Fi'24, the Rudvalis group, the Held group, the Thompson group, the Harada–Norton group, the third Conway group Co3, the Lyons group, and the Monster, .
Обобщения
Понятие поверхности Хурвица может быть обобщено несколькими способами, приводящими к определению, для которого существуют примеры почти во всех родах. Вероятно, наиболее естественным является определение "максимально симметричной" поверхности: поверхности, которую нельзя непрерывно деформировать через равносимметричные поверхности к поверхности, симметрия которой строго включает симметрию исходной поверхности. Это возможно для всех ориентируемых компактных родов (см. выше раздел "Автоморфические группы при малых родах").