Кіріспе

Тұрақты қатынаста өзгеретін екі шаманың қасиеттері. Математикада, екі сан тізбегі, көбінесе тәжірибелік деректер, егер олардың сәйкес элементтерінің арасындағы қатынас тұрақты болса, пропорционалды немесе тура пропорционалды болып саналады. Бұл қатынас пропорционалдық коэффициенті (немесе пропорционалдық тұрақтысы) деп аталады, ал оның кері шамасы – нормалау тұрақтысы (немесе нормализация тұрақтысы) деп аталады. Егер сәйкес элементтердің көбейтіндісі тұрақты болса, екі тізбек кері пропорционалды болады, бұл көбейтінді де пропорционалдық коэффициенті деп аталады. Бұл анықтама көбінесе өзгермелі шамаларға қолданылады, олар айнымалы деп те аталады. Алайда, бұл айнымалы терминінің математикадағы жалпы мағынасынан өзгеше (айнымалы (математика) қараңыз); осы екі әртүрлі ұғымның ортақ аталуы тарихи себептерге байланысты. Егер екі функцияның қатынасы тұрақты функция болса, олар пропорционалды болады. Егер бірнеше айнымалы жұптарының бірдей тура пропорционалдық тұрақтысы болса, онда осы қатынастардың теңдігін көрсететін теңдеу пропорция деп аталады, мысалы, (толық мәліметтер үшін Қатынасқа қараңыз). Пропорционалдық тура сызықтықпен тығыз байланысты.

Мысалдар

Егер объект тұрақты жылдамдықпен қозғалса, онда оның жүрген қашықтығы уақытқа тура пропорционал, ал жылдамдық – пропорционалдық коэффициенті болып табылады. Шеңбердің ұзындығы оның диаметріне тура пропорционал, пропорционалдық коэффициенті π-ға тең. Шамалы аумақты қамтитын масштаб бойынша салынған картада, екі нүкте арасындағы қашықтық сол нүктелер көрсететін жерлер арасындағы тікелей қашықтыққа тура пропорционал; пропорционалдық коэффициенті – карта масштабы. Тартылыс күші шағын массалы объектіге жақын жердегі үлкен массаның әсерінен туындайды және бұл күш объектінің массасына тура пропорционал; күш пен масса арасындағы пропорционалдық коэффициенті гравитациялық үдеу деп аталады. Объектіге әсер ететін жалғыз күш, инерциялық санақ жүйесіне қатысты оның үдеуіне пропорционал. Осы, Ньютонның екінші заңындағы пропорционалдық коэффициенті – объектінің классикалық массасы.

Кері пропорционалдылық

Екі айнымалы кері пропорционалды (оларды кері пропорционалды, кері өзгеру, кері пропорция бойынша өзгеру деп те атайды), егер әрбір айнымалы екіншісінің көбейтуге кері (өзара) пропорционалды болса, немесе олардың көбейтіндісі тұрақты санға тең болса. Осыдан y айнымалысы x айнымалысына кері пропорционалды, егер nөлден өзгеше тұрақты k болса, яғни:

немесе, балама түрде, демек, "k" тұрақтысы – x және y көбейтіндісіне тең. Картезиандық координаттар жазықтығында кері өзгеріп тұратын екі айнымалының графигі – тікбұрышты гипербола. График бойындағы әрбір нүктенің x және y мәндерінің көбейтіндісі пропорционалдылық тұрақтысы k-ға тең. x және y нөлге тең бола алмайды (өйткені k нөл емес), сондықтан график ешқашан координата осьтерін кесіп өтпейді. Тікелей және кері пропорция келесідей ерекшеленеді: тікелей пропорцияда айнымалылар бірге өседі немесе азаяды. Кері пропорцияда бір айнымалының өсуі екіншісінің азаюымен байланысты. Мысалы, саяхатта тұрақты жылдамдық қашықтық пен уақыт арасында тікелей пропорционалдықты анықтайды; ал берілген қашықтық (тұрақты) үшін саяхат уақыты жылдамдыққа кері пропорционалды: s × t = d.

Гиперболалық координаттар

Тікелей және кері пропорция ұғымдары Картезиандық жазықтықтағы нүктелерді гиперболалық координаттармен анықтауға мүмкіндік береді; екі координат тікелей пропорционалдылық тұрақтысына, ол нүктені белгілі бір сәуледе орналастырады, және кері пропорционалдылық тұрақтысына, ол нүктені белгілі бір гиперболада орналастырады, сәйкес келеді.