Введение

Свойство двух изменяющихся величин с постоянным отношением

В математике две последовательности чисел, часто экспериментальных данных, пропорциональны или прямо пропорциональны, если их соответствующие элементы имеют постоянное отношение. Это отношение называется коэффициентом пропорциональности (или постоянной пропорциональности), а его величина, обратная по значению, известна как постоянная нормализации (или нормализующая постоянная). Две последовательности обратно пропорциональны, если соответствующие элементы имеют постоянное произведение, также называемое коэффициентом пропорциональности. Это определение обычно распространяется на связанные изменяющиеся величины, которые часто называют переменными. Это значение термина «переменная» не совпадает с общепринятым значением этого термина в математике (см. переменная (математика)); эти два различных понятия имеют одно и то же название по историческим причинам. Две функции f и g пропорциональны, если их отношение f/g является постоянной функцией. Если несколько пар переменных имеют одну и ту же постоянную прямой пропорциональности, то уравнение, выражающее равенство этих отношений, называется пропорцией, например, a/b = c/d (подробнее см. Отношение). Пропорциональность тесно связана с линейностью.

Примеры

Если объект движется с постоянной скоростью, то пройденное расстояние прямо пропорционально времени в пути, при этом скорость является коэффициентом пропорциональности. Длина окружности круга прямо пропорциональна его диаметру, а коэффициент пропорциональности равен π. На карте достаточно небольшой географической области, выполненной в масштабе, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально расстоянию по прямой между соответствующими им объектами на местности; коэффициент пропорциональности – это масштаб карты. Сила, действующая на небольшой объект со стороны близлежащего протяженного тела вследствие гравитации, прямо пропорциональна массе этого объекта; коэффициент пропорциональности между силой и массой известен как ускорение свободного падения. Результирующая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Коэффициент пропорциональности в этом, втором законе Ньютона, является классической массой объекта.

Обратная пропорциональность

Две переменные обратно пропорциональны (также называемые обратно пропорциональными, изменяющимися обратно пропорционально, в обратной зависимости) если каждая из переменных прямо пропорциональна обратному значению (обратной величине) другой, или, что эквивалентно, если их произведение является постоянной величиной. Следовательно, переменная y обратно пропорциональна переменной x, если существует ненулевая константа k, такая что или, что эквивалентно, таким образом, константа "k" равна произведению x и y. График двух обратно пропорциональных переменных на декартовой координатной плоскости представляет собой прямоугольную гиперболу. Произведение значений x и y каждой точки на кривой равно постоянной пропорциональности (k). Поскольку ни x, ни y не могут быть равны нулю (потому что k ненулевая), график никогда не пересекает ни одну из осей. Прямая и обратная пропорциональность различаются следующим образом: при прямой пропорциональности переменные увеличиваются или уменьшаются одновременно. При обратной пропорциональности увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. Например, при движении с постоянной скоростью существует прямая пропорциональность между расстоянием и временем в пути; в то же время, при заданном расстоянии (константе), время в пути обратно пропорционально скорости: s × t = d.

Гиперболические координаты

Понятия прямой и обратной пропорциональности приводят к определению положения точек в декартовой плоскости с помощью гиперболических координат; эти две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, определяющей точку на определенном луче, и константе обратной пропорциональности, определяющей точку на определенной гиперболе.