Математикалық дәлелдемелер мен логика негіздері

Математикалық дәлелдемелер, теоремалар, аксиомалар, гипотезалар туралы біліңіз. Логикалық тұжырымдама, математикалық шындықтарды қалай анықтау?

13 мин оқу

100%

Дереккөз: Mathematical proof — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Математикалық дәлелдеме – математикалық мәлімдеме үшін дедуктивті аргумент, ол көрсетілген болжамдардың тұжырымға логикалық кепілдік беретінін көрсетеді. Аргумент теоремалар сияқты бұрыннан белгіленген басқа мәлімдемелерді пайдалануы мүмкін; бірақ кез келген дәлелдеме, принцип бойынша, аксиомалар деп аталатын негізгі немесе бастапқы болжамдар мен қабылданған қорытындылау ережелерін қолдана отырып құрастырылуы мүмкін. Дәлелдер – логикалық нақтылықты орнататын толық дедуктивті ойлаудың мысалдары, олар эмпирикалық аргументтерден немесе «әділ күтуді» орнататын толық емес индуктивті ойлаудан ерекшеленеді. Мәлімдеме дұрыс екенін көрсететін көптеген жағдайларды ұсыну дәлел үшін жеткіліксіз, дәлелдеме мәлімдеменің барлық мүмкін жағдайларда дұрыс екенін көрсетуі керек. Дәлелденбеген, бірақ дұрыс деп саналатын ұйғарым, егер ол математикалық жұмыстың одан әрі жалғасуы үшін жиі болжам ретінде қолданылса, болжам немесе гипотеза деп аталады. Дәлелдемелер математикалық символдармен, сондай-ақ әдетте белгілі бір дәрежеде түсініксіздікке жол беретін табиғи тілмен біріктірілген логиканы қолданады. Математикалық әдебиеттің көп бөлігінде дәлелдемелер қатаң бейресми логика тұрғысынан жазылады. Табиғи тілге сілтеме жасай отырып, толық символдық тілмен жазылған таза формальды дәлелдемелер дәлелдеу теориясында қарастырылады. Формальды және бейресми дәлелдемелердің аражік айырмашылығы қазіргі және тарихи математикалық тәжірибелерді, математикадағы квази-эмпиризмді және «халық математикасы» деп аталатын, негізгі математикалық қауымдастықтағы немесе басқа мәдениеттердегі ауызша дәстүрлерді зерттеуге алып келді. Математика философиясы дәлелдемелердегі тіл мен логиканың рөлімен, сондай-ақ математиканың тіл ретінде қолданылуымен айналысады.

Тарих және этимология

"Дәлел" сөзі латын тіліндегі probare (тексеру) сөзінен шыққан. Қазіргі замандағы осыған ұқсас сөздер – ағылшын тілінде "probe", "probation" және "probability", испан тілінде probar (иістену немесе дәм тату, кейде қолмен ұстап көру немесе сынап қарау), итальян тілінде provare (сынау) және неміс тілінде probieren (сынау). "Адалдық" деген құқықтық термин – беделді немесе мәртебелі адамдардың айғақтары арқылы фактілерді дәлелдеуге қабілеттілік, сенімділік. Суреттер мен теңеулер сияқты эвристикалық тәсілдерді пайдаланатын ықтималдық аргументтер қатаң математикалық дәлелдемелерге дейін пайда болды. Математикалық дәлелдеудің дамуы көбінесе ежелгі грек математикасының нәтижесі және оның ең үлкен жетістіктерінің бірі. Талес (б.з.д. 624–546 ж.) және Хиос атындағы Гиппократ (б.з.д. 470–410 ж.) геометриядағы теоремалардың алғашқы дәлелдемелерін келтірді. Евдокс (б.з.д. 408–355 ж.) және Теэтет (б.з.д. 417–369 ж.) теоремаларды тұжырымдады, бірақ оларды дәлелдемеді. Аристотель (б.з.д. 384–322 ж.) анықтамалар бұрыннан белгілі басқа ұғымдар арқылы анықталатын ұғымды сипаттауы керек деді. Математикалық дәлелдеуді Евклид (б.з.д. 300 ж.) революциялық өзгертіп, қазірге дейін қолданылып келе жатқан аксиоматикалық әдісті енгізді. Ол анықталмаған терминдермен және аксиомалармен басталады, бұл анықталмаған терминдерге қатысты, өздігінен шын деп есептелетін (грек тілінен "axios" – лайықты нәрсе) ұйғарымдар. Осы негізден әдіс дедуктивті логика арқылы теоремаларды дәлелдейді. Евклидтің "Элементтер" кітабын Батыста білімді деп есептелген кез келген адам 20 ғасырдың ортасына дейін оқыған. Геометрия теоремаларынан, мысалы, Пифагор теоремасынан басқа, "Элементтер" кітабында сандар теориясы да қамтылған, соның ішінде екінің квадрат түбірінің иррационалды екенін және шексіз көп жай сандардың бар екенін дәлелдеу де бар. Орта ғасырлардағы ислам математикасында да одан әрі жетістіктер болды. 10 ғасырда ирактық математик Әл Хашими сандарды "сызықтар" деп атап, оларды геометриялық нысандардың өлшемдері ретінде қарастырмай, көбейту, бөлу және т.б. қатысты алгебралық тұжырымдамаларды, соның ішінде иррационалды сандардың бар екенін дәлелдеу үшін пайдаланды. Аль-Караджи "Аль-Фахри" (1000 ж.) еңбегінде арифметикалық прогрессиялар үшін индуктивті дәлелді енгізіп, оны биномдық теореманы және Паскаль үшбұрышының қасиеттерін дәлелдеу үшін қолданды. Қазіргі заманғы дәлелдеу теориясы дәлелдеулерді индуктивті түрде анықталған дерек құрылымдары ретінде қарастырады, аксиомалардың кез келген мағынада "нағыз" екенін қабылдауды қажет етпейді. Бұл аксиомалардың балама жиынтығына негізделген, мысалы, аксиоматикалық жиын теориясы және Евклидтік емес геометрия сияқты, берілген интуитивті ұғымның формалды модельдері ретінде параллель математикалық теорияларға мүмкіндік береді.

The word "proof" comes from the Latin probare (to test). Related modern words are English "probe", "probation", and "probability", Spanish probar (to smell or taste, or sometimes touch or test), Italian provare (to try), and German probieren (to try). The legal term "probity" means authority or credibility, the power of testimony to prove facts when given by persons of reputation or status. Plausibility arguments using heuristic devices such as pictures and analogies preceded strict mathematical proof. The development of mathematical proof is primarily the product of ancient Greek mathematics, and one of its greatest achievements. Thales (624–546 BCE) and Hippocrates of Chios (c. 470–410 BCE) gave some of the first known proofs of theorems in geometry. Eudoxus (408–355 BCE) and Theaetetus (417–369 BCE) formulated theorems but did not prove them. Aristotle (384–322 BCE) said definitions should describe the concept being defined in terms of other concepts already known. Mathematical proof was revolutionized by Euclid (300 BCE), who introduced the axiomatic method still in use today. It starts with undefined terms and axioms, propositions concerning the undefined terms which are assumed to be self evidently true (from Greek "axios", something worthy). From this basis, the method proves theorems using deductive logic. Euclid's book, the Elements, was read by anyone who was considered educated in the West until the middle of the 20th century. In addition to theorems of geometry, such as the Pythagorean theorem, the Elements also covers number theory, including a proof that the square root of two is irrational and a proof that there are infinitely many prime numbers. Further advances also took place in medieval Islamic mathematics. In the 10th century CE, the Iraqi mathematician Al Hashimi worked with numbers as such, called "lines" but not necessarily considered as measurements of geometric objects, to prove algebraic propositions concerning multiplication, division, etc., including the existence of irrational numbers. An inductive proof for arithmetic sequences was introduced in the Al Fakhri (1000) by Al Karaji, who used it to prove the binomial theorem and properties of Pascal's triangle. Modern proof theory treats proofs as inductively defined data structures, not requiring an assumption that axioms are "true" in any sense. This allows parallel mathematical theories as formal models of a given intuitive concept, based on alternate sets of axioms, for example Axiomatic set theory and Non Euclidean geometry.

Табиғаты мен мақсаты

Дәлел табиғи тілмен жазылады және бір мәлімдеменің рас екеніне аудиторияны көндіруге бағытталған қатаң аргумент болып табылады. Қатаңдық стандарты абсолютті емес және тарих барысында өзгеріп келген. Дәлелді мақсатты аудиторияға қарай әртүрлі форматта ұсынуға болады. Дәлелді қабылдау үшін, ол қауымдастықтың қатаңдық стандарттарына сай келуі керек; егер аргумент нашар немесе толық емес деп табылса, қабылданбауы мүмкін. Дәлел ұғымы математикалық логика саласында формалдануға ие. Формалды дәлелдеме табиғи тілдің орнына формалды тілде жазылады. Формалды дәлелдеме – формалды тілдегі формулалардың тізбегі, ол болжамнан басталады, ал әрбір келесі формула алдыңғыларының логикалық салдары болып табылады. Бұл анықтама дәлел ұғымын зерттеуге мүмкіндік береді. Шындығында, дәлелдеу теориясы формалды дәлелдемелерді және олардың қасиеттерін зерттейді, ең танымал және таң қалдыратыны – барлық аксиоматикалық жүйелер жүйе ішінде дәлелдеуге келмейтін белгілі бір шешілмейтін мәлімдемелерді тудыра алады. Формалды дәлелдеменің анықтамасы математика тәжірибесінде жазылған дәлелдемелер ұғымын түсіндіруге бағытталған. Бұл анықтаманың дұрыстығы жарияланған дәлелді принцип бойынша формалды дәлелге айналдыруға болатындығына сенуге негізделген. Дегенмен, автоматтандырылған дәлелдеу құралдарынан тыс, мұндай нәрсе іс жүзінде сирек жасалады. Философиядағы классикалық сұрақ – математикалық дәлелдемелер аналитикалық па, синтетикалық па? Аналитикалық-синтетикалық айырмашылықты енгізген Кант математикалық дәлелдемелер синтетикалық екеніне сенді, ал Куайн 1951 жылғы «Эмпиризмнің екі догмасы» еңбегінде мұндай айырмашылықтың негізсіз екенін дәлелдеді. Дәлелдер математикалық әдемілігі үшін құрметке ие болуы мүмкін. Математик Пол Эрдос әр теореманы дәлелдеудің ең әдемі әдістерін қамтитын гипотетикалық том – «Кітаптан» келген дәлелдемелерді ерекше әдемі деп сипаттағанымен белгілі. 2003 жылы жарық көрген «Кітаптан дәлелдер» кітабында редакторлардың пікірінше, ең ұнамды 32 дәлел ұсынылған.

As practiced, a proof is expressed in natural language and is a rigorous argument intended to convince the audience of the truth of a statement. The standard of rigor is not absolute and has varied throughout history. A proof can be presented differently depending on the intended audience. To gain acceptance, a proof has to meet communal standards of rigor; an argument considered vague or incomplete may be rejected. The concept of proof is formalized in the field of mathematical logic. A formal proof is written in a formal language instead of natural language. A formal proof is a sequence of formulas in a formal language, starting with an assumption, and with each subsequent formula a logical consequence of the preceding ones. This definition makes the concept of proof amenable to study. Indeed, the field of proof theory studies formal proofs and their properties, the most famous and surprising being that almost all axiomatic systems can generate certain undecidable statements not provable within the system. The definition of a formal proof is intended to capture the concept of proofs as written in the practice of mathematics. The soundness of this definition amounts to the belief that a published proof can, in principle, be converted into a formal proof. However, outside the field of automated proof assistants, this is rarely done in practice. A classic question in philosophy asks whether mathematical proofs are analytic or synthetic. Kant, who introduced the analytic–synthetic distinction, believed mathematical proofs are synthetic, whereas Quine argued in his 1951 "Two Dogmas of Empiricism" that such a distinction is untenable. Proofs may be admired for their mathematical beauty. The mathematician Paul Erdős was known for describing proofs which he found to be particularly elegant as coming from "The Book", a hypothetical tome containing the most beautiful method(s) of proving each theorem. The book Proofs from THE BOOK, published in 2003, is devoted to presenting 32 proofs its editors find particularly pleasing.

Тікелей дәлелдеу

Тікелей дәлелдеуде қорытынды аксиомалар, анықтамалар және бұрынғы теоремаларды логикалық түрде біріктіру арқылы орнатылады. Мысалы, екі жұп бүтін санның қосындысы әрқашан жұп екенін дәлелдеу үшін тікелей дәлелді қолдануға болады:

x және y екі жұп бүтін сандарын қарастырайық. Олар жұп болғандықтан, оларды кейбір a және b бүтін сандары үшін сәйкесінше x = 2a және y = 2b деп жазуға болады. Содан кейін, x + y = 2a + 2b = 2(a + b) болады. Демек, x+y саны 2-ге бөлінеді және, анықтамасы бойынша, жұп сан. Осылайша, кез келген екі жұп бүтін санның қосындысы жұп сан болады. Бұл дәлелдемеде жұп бүтін сандардың анықтамасы, қосу және көбейту операциялары бойынша бүтін сандардың жабық қасиеттері, сондай-ақ үлестірімдік қасиет қолданылады.

Қайшылықты дәлелдеу

Қарама-қайшылық арқылы дәлелдеу, сонымен қатар латын тілінде reductio ad absurdum (абсурдқа дейін келтіру) деп белгілі, егер бір мәлімдеме дұрыс деп есептелсе, логикалық қайшылық туындайды, демек, мәлімдеме жалған болуы керек екенін көрсетеді. Белгілі мысал – √2 санының иррационал екенін дәлелдеу:

√2 санының рационал сан екенін болжап алайық. Онда оны ең қарапайым түрінде a/b деп жазуға болады, мұнда a және b нөлден өзгеше бүтін сандар және олардың ортақ бөлгіші жоқ. Екі жақтарын квадраттаудан 2b² = a² шығады. Сол жақтағы өрнек 2-ге еселенгендіктен, оң жақтағы өрнек те 2-ге бөлінеді. Яғни, a² жұп сан, демек, a да жұп сан болуы керек, бұл жоғарыдағы ұсыныста (#Proof by contraposition) көрсетілген. Сондықтан a = 2c деп жаза аламыз, мұнда c – бүтін сан. Бастапқы теңдеуге қойғанда 2b² = (2c)² = 4c² шығады. Екі жағын 2-ге бөлгенде b² = 2c² болады. Бірақ, бұрынғы аргумент бойынша, 2 саны b²-ні бөледі, сондықтан b да жұп сан болуы керек. Дегенмен, егер a және b екеуі де жұп сан болса, олардың ортақ бөлгіші 2 болады. Бұл a мен b-нің ортақ бөлгіші жоқ деген алдыңғы тұжырымымызға қайшы келеді, сондықтан √2 иррационал сан деген қорытындыға келуіміз керек. Басқаша айтқанда, егер √2-ні бөлшек түрінде жазуға болады десе, онда бұл бөлшек ешқашан ең қарапайым түрінде жазылмайды, себебі 2-ні әрқашан алымы мен бөлімінен шығаруға болады.

Құрылыс арқылы дәлелдеу

Құрылыс арқылы дәлелдеу немесе мысал арқылы дәлелдеу – белгілі бір қасиетке ие нәрсе бар екенін көрсету үшін, сол қасиетке ие нақты мысал жасау. Мысалы, Жозеф Лиувилл трансцендентті сандардың бар екенін нақты мысал құрастырып дәлелдеді. Бұл әдіс сондай-ақ, барлық элементтердің белгілі бір қасиеттері бар деген пікірді жоққа шығару үшін қарсы мысал келтіруге де қолданылуы мүмкін.

Тоқтату арқылы дәлелдеу

Тоқтату арқылы дәлелдеуде, қорытынды оны шекті сандағы жағдайларға бөліп, әрқайсысын жеке-жеке дәлелдеу арқылы орнатылады. Жағдайлардың саны кейде өте көп болуы мүмкін. Мысалы, төрт түс теоремасының алғашқы дәлелі 1936 жағдайды қамтитын тоқтату арқылы дәлелденген. Бұл дәлелге қарсылық болды, себебі жағдайлардың көп бөлігі қолмен емес, компьютерлік бағдарлама арқылы тексерілді. 2011 жылға дейінгі төрт түс теоремасының ең қысқа дәлелі де 600-дан астам жағдайды қамтиды.

Ықтималдық дәлелдеу

Ықтималдық дәлелі – ықтималдық теориясының әдістерін қолдану арқылы мысалдың бар екендігінің нақты дәлелденген түрі. Ықтималдық дәлелдеу, құрылымдық дәлелдеу сияқты, теоремалардың бар екенін дәлелдеудің көптеген жолдарының бірі болып табылады. Ықтималдық әдісте белгілі бір қасиетке ие объектіні іздеу үлкен кандидаттар жиынынан басталады. Әр кандидаттың таңдалуына белгілі бір ықтималдық тағайындалады, содан кейін таңдалған кандидаттың қажетті қасиетке ие болу ықтималдығы нөлден жоғары екені дәлелденеді. Бұл қай кандидаттардың қасиетке ие екенін көрсетпейді, бірақ кем дегенде біреуі болмаса, оң ықтималдық болуы мүмкін емес. Ықтималдық дәлелді теореманың "әлдеқайда" дұрыс екендігі туралы пікірмен, яғни "сенімділік аргументімен" шатастыруға болмайды. Коллатц болжамына жасалған жұмыстар, Мертенс болжамының жоққа шығарылуымен салыстырғанда, нақты дәлелденуден қаншалықты алшақты екенін көрсетеді. Көптеген математиктер берілген объектінің қасиеттеріне қатысты ықтималдық дәлелдемелерді толыққанды математикалық дәлел деп санамайды, бірақ бірқатар математиктер мен философтар кем дегенде кейбір ықтималдық дәлелдемелердің түрлері (мысалы, Рабиннің қарапайымдылықты тексеруге арналған ықтималдық алгоритмі) толыққанды математикалық дәлелдермен тең деп санайды.

Комбинациялық дәлелдеу

Комбинаторлық дәлелдеу әртүрлі өрнектердің бірдей нысанды әртүрлі жолдармен санайтынын көрсету арқылы олардың эквивалентті екенін дәлелдейді. Көбінесе екі жиын арасындағы бір-бірге сәйкестік (биекция) олардың мөлшерін сипаттайтын өрнектердің теңдігін көрсету үшін қолданылады. Басқа жағдайда, қос санау аргументі бір жиынның мөлшері үшін екі түрлі өрнек береді, осылайша екі өрнектің де тең екенін көрсетеді.

Құрылыс емес дәлелдеу

Конструктивті емес дәлелдеу математикалық объектінің белгілі бір қасиетке ие екенін анықтайды, бірақ мұндай объектіні қалай табуға болатынын түсіндірмейді. Көбінесе бұл қарама-қайшылық арқылы дәлелдеу түрінде болады, онда объектінің жоқ екендігі мүмкін емес екені дәлелденеді. Ал, конструктивті дәлелдеу нақты бір объектінің бар екенін оны табу әдісін ұсыну арқылы анықтайды. Келесі мәшһүр мысал конструктивті емес дәлелдеудің мысалы болып табылады, онда а және b екі иррационал санның бар екені көрсетіледі, сондағы – рационал сан. Бұл дәлелдеу иррационал екенін пайдаланады (Евклидтен бері оңай дәлелдеу белгілі), бірақ иррационал екенін пайдаланбайды (бұл рас, бірақ дәлелдеу элементар емес). Егер рационал сан болса, онда мәселе шешілді (ал ), әйтпесе иррационал, сондықтан деп жазамыз, және бұл түріндегі рационал сан береді.

Таза математикадағы статистикалық дәлелдеулер

"Статистикалық дәлелдеу" термині таза математиканың, мысалы криптография, хаотикалық тізбектер, ықтималдықтар теориясы немесе аналитикалық сандар теориясы салаларында техникалық немесе күнделікті тілде қолданылуы мүмкін. Бұл термин математикалық статистика саласында математикалық дәлелдемеге сілтеме жасағанда осыншалықты жиі қолданылмайды. Төмендегі "Деректерді қолдана отырып статистикалық дәлелдеу" бөліміне де қараңыз.

Компьютерлік дәлелдеу

ХХ ғасырға дейін кез келген дәлелді, принцип бойынша, оның дұрыстығын растау үшін білікті математик тексеруге болатыны есептелді. Бірақ қазір компьютерлер теоремаларды дәлелдеу үшін де, адамның немесе адамдар тобының тексеруіне тым ұзақ созылатын есептеулерді орындау үшін де қолданылуда; төрт түс теоремасының алғашқы дәлелі – компьютер көмегімен дәлелдеудің бір мысалы. Кейбір математиктер компьютерлік бағдарламада қателіктер болуы немесе оның есептеулерінде орындалу кезінде қателіктер тууы компьютер көмегімен жасалған дәлелдердің дұрыстығына күмән келтіретініне алаңдайды. Іс жүзінде, компьютер көмегімен жасалған дәлелді жарамсыз ететін қателіктерді азайту үшін есептеулерге қосымша және өзін-өзі тексеруді енгізу, сондай-ақ бірнеше тәуелсіз әдістер мен бағдарламаларды жасау мүмкін. Адамдар дәлелді тексерген кезде де қателіктерді толығымен жоққа шығаруға болмайды, әсіресе егер дәлелдемеде табиғи тіл қолданылса және оған байланысты жасырын болжамдар мен қателіктерді анықтау үшін терең математикалық түсінік қажет болса.

Шешімсіз мәлімдемелер

Аксиомалар жиынтығынан дәлелдеуге не жоққа шығаруға болмайтын мәлімдеме шешілмейтін (сол аксиомалар бойынша) деп аталады. Мысалы, параллельдік постулаты – Евклид геометриясының қалған аксиомаларынан дәлелдеуге де, жоққа шығаруға да болмайтын мәлімдеме. Математиктер Зермело-Франкель жиын теориясының таңдау аксиомасымен (ZFC) – математикадағы жиын теориясының стандартты жүйесінде (ZFC тұрақты екендігі болжамдалса) – дәлелдеуге де, жоққа шығаруға да болмайтын көптеген мәлімдемелер бар екенін көрсетті; ZFC-де шешілмейтін мәлімдемелер тізімін қараңыз. Гёдельдің (бірінші) толық еместік теоремасы математикалық тұрғыдан қызығушылық тудыратын көптеген аксиомалық жүйелерде шешілмейтін мәлімдемелер болатынын көрсетеді.

Эвристикалық математика және эксперименталды математика

Книдтік Евдокс сияқты ерте математиктер дәлелдемелерді қолданбағанмен, Евклидтен бастап 19-шы ғасырдың соңы мен 20-шы ғасырдың негізгі математикалық дамуларына дейін дәлелдемелер математиканың маңызды бөлігі болды. 1960-шы жылдары есептеу қуатының артуымен, эксперименталды математикада дәлелдеу теоремасының аясынан тыс математикалық объектілерді зерттеу бойынша маңызды жұмыстар басталды. Осы әдістердің алғашқы жақтастары осы жұмысты классикалық дәлелдеу теоремасының аясына келтіруді жоспарлады, мысалы, фракталдық геометрияның бастапқы дамуы, ол соңында дәлелденді.

Көрнекі дәлелдеу

Расмий дәлел болмаса да, математикалық теореманың визуальды демонстрациясы кейде "сөзсіз дәлел" деп аталады. Төмендегі сол жақ сурет – (3,4,5) үшбұрышы үшін Пифагор теоремасының тарихи визуальды дәлелінің мысалы. Кейбір иллюзиялық визуальды дәлелдер, мысалы, "жоғалған квадрат" жұмбағы, математикалық фактіні дәлелдейтіндей көрінеді, бірақ іс жүзінде елеусіз қателерді (мысалы, шындығында сәл қисайған, тура деп есептелетін түзу сызықтарды) ескермей жасалады. Бұл қателер суретті мұқият қарап, ұзындықтары мен бұрыштарын нақты өлшегенде немесе есептегенде ғана байқалады.

Бастапқы дәлелдеу

Элементар дәлелдеу – тек қарапайым әдістерді қолданатын дәлелдеу. Әсіресе, бұл термин сан теориясында күрделі талдау қолданбайтын дәлелдемелерді білдіреді. Бір кезде кейбір теоремалар, мысалы, жай сан теоремасы, тек "жоғары" математика арқылы ғана дәлелденуі мүмкін деп есептелді. Бірақ, уақыт өте келе, осы нәтижелердің көптегені тек элементар әдістерді пайдаланып қайта дәлелденді.

Екі бағандық дәлелдеу

АҚШ-тағы элементар геометрия сабақтарында математикалық жаттығу ретінде дәлелді екі параллель бағана түрінде ұйымдастырудың белгілі бір тәсілі жиі қолданылады. Дәлел екі бағандағы қатарлар тізбегі ретінде жазылады. Әр қатарда сол бағандағы мәлімдемеге оң бағанда сол мәлімдеменің аксиома екенін, гипотеза екенін немесе бұрынғы мәлімдемелерден логикалық тұрғыдан қалай туындайтынын түсіндіретін қысқаша түсініктеме беріледі. Сол баған әдетте "Мәлімдемелер" деп, ал оң баған "Негіздемелер" деп аталады.

"Математикалық дәлелдеу" сөзін кең тараған түрде қолдану

"Математикалық дәлелдеу" деген сөзді математикалық әдістерді қолдану немесе сандар сияқты математикалық объектілермен жұмыс істеу арқылы күнделікті өмірдегі бір нәрсені көрсету үшін, немесе пікірді қолдау үшін қолданылатын дерек сандық болған кезде, мамандар емес адамдар жиі қолданады. Ол кейде "статистикалық дәлелдеу" (төменде қараңыз) деген мағынаны да білдіреді, әсіресе деректер негізінде аргумент келтіргенде.

Деректерді пайдалана отырып статистикалық дәлелдеу

"Статистикалық дәлелдеу" деректерден алынған мәліметтерге қатысты статистика, деректерді талдау немесе Байес талдауын қолдану арқылы деректердің ықтималдығы туралы тұжырымдар жасауды білдіреді. Статистикада теоремаларды дәлелдеу үшін математикалық дәлел қолданылған кезде, бұл әдетте математикалық дәлел болып табылмайды, себебі ықтималдық туралы мәлімдемелерге негіз болатын болжамдар математикадан тыс эмпирикалық деректермен расталуын қажет етеді. Физикада, статистикалық әдістерден өзге, "статистикалық дәлелдеу" бөлшектер физикасы эксперименттерінде немесе физикалық космологиядағы байқау зерттеулерінде деректерді талдау үшін қолданылатын физиканың арнайы математикалық әдістерін де білдіре алады. "Статистикалық дәлелдеу" сондай-ақ шикі деректерге немесе деректерді көрсететін нақты диаграммаға, мысалы, шашыраңқы кестелерге сілтеме жасауы мүмкін, егер деректер немесе диаграмма қосымша талдаусыз жеткілікті сенімді болса.

Индуктивті логикалық дәлелдеулер және Байес анализі

Индуктивті логиканы қолданатын дәлелдер, математикалық сипатта болғанымен, белгілі бір деңгейдегі нақтылықты орнатуға бағытталған, бұл ықтималдыққа ұқсас қызмет етеді және толық нақтылықтан кем болуы мүмкін. Индуктивті логиканы математикалық индукциямен шатастырмау керек. Байестік талдау жаңа деректер немесе ақпарат пайда болғанда, гипотезалардың ықтималдығына қатысты адамның бағалауын жаңарту үшін Байес теоремасын пайдаланады.

Дәлел ақыл-ойымыздағы нысандар ретінде

Психологизм математикалық дәлелдемелерді психологиялық немесе саналық объектілер ретінде қарастырады. Лейбниц, Фреге және Карнап сияқты математик-философтар бұл көзқарасқа әртүрлі сын айтып, олар ой тілі деп есептейтін семантиканы жасауға тырысты, соның арқасында математикалық дәлелдеу стандарттары эмпирикалық ғылымға қолданылуы мүмкін болар еді.

Математикадан тыс математикалық дәлелдеу әдістерінің әсері

Спиноза сияқты философ-математиктер философиялық аргументтерді аксиомалық түрде қалыптастыруға тырысты, осылайша математикалық дәлелдеу стандарттарын жалпы философиядағы пікірталасқа қолдануға мүмкіндік берді. Басқа математик-философтар математикалық дәлелдеу және логика стандарттарын эмпиризмге жүгінбестен, математикадан тыс мәлімдемелерге жетуге тырысты, бірақ Декарттың «Мен ойлаймын, демек, мен бармын» аргументі сияқты математикалық дәлелдеуде шығарылған тұжырымдардың нақтылығына қол жеткізуді көздеді.

Дәлелді аяқтау

Кейде "Q.E.D." деген қысқарту дәлелдің аяқталғанын көрсету үшін жазылады. Бұл қысқарту "quod erat demonstrandum" дегенді білдіреді, бұл латын тілінде "дәлелдеуге тиіс нәрсе" деген мағынаны білдіреді. Көбінесе, □ немесе ∎ сияқты шаршы немесе тіктөртбұрыш пайдалану қалыпты, олар Пауыл Халмос атымен "мазар тасы" немесе "хальмос" деп аталады. Көбінесе ауызша баяндама кезінде "QED", "□" немесе "∎" деп жазғанда "көрсетілуі керек болған" деп ауызша айтылады. Unicode "дәлелдің соңы" символын арнайы ұсынады, U+220E (∎) (220E(hex) = 8718(dec)).