Кіріспе

Өздік вектордың кейбір критерийлерін қанағаттандыратын вектор

Сызықтық алгебрада матрицаның жалпыланған өздік векторы — (қалыпты) өздік векторға қарағанда көбірек жеңілдетілген критерийлерді қанағаттандыратын вектор. болсын — өлшемдік векторлық кеңістік және болсын — белгілі бір реттелген базис бойынша -ден -ге дейінгі сызықтық түрлендірудің матрицалық бейнесі. -ның толық негізін құрайтын сызықтық тәуелсіз өздік векторларының толық жиынтығы әрқашан бола бермейді. Яғни, матрицасы диагональдық емес болуы мүмкін. Бұл кем дегенде бір өзіндік мәннің алгебралық көптігі оның геометриялық көптігінен (матрицаның ядросының өлшемі немесе оның ядролық кеңістігінің өлшемінен) артық болғанда болады. Бұл жағдайда, ол кемшіктік өзіндік мән деп аталады және — кемшіктік матрица деп аталады. -ге сәйкес келетін жалпыланған өздік вектор, матрицасымен бірге, сызықтық тәуелсіз жалпыланған өздік векторлардың Жордан тізбегін құрайды, ол -нің инвариантты подкеңістігі үшін базис құрайды. Жалпыланған өздік векторларды пайдалану арқылы, қажет болған жағдайда, -ның сызықтық тәуелсіз өздік векторларының жиынтығын -нің толық базисіне дейін кеңейтуге болады. Бұл базис, -ге ұқсас Жорданның канондық түріндегі «диагональға жақын» матрицаны анықтау үшін пайдаланылуы мүмкін, бұл -нің белгілі бір матрицалық функцияларын есептеуде пайдалы. - матрицасы сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуде де пайдалы, мұнда диагональдық емес болуы мүмкін. Берілген өзіндік мәнге сәйкес келетін жалпыланған өздік кеңістіктің өлшемі — оның алгебралық көптігі.

Мысалдар

Жалпыланған меншікті векторлардың мәнін көрсету үшін мына мысалдар келтірілген. Кейбір егжей-тегжейлері кейінірек сипатталады.

Жалпыланған модальдық матрица

n × n матрицасын қарастырайық. Матрицаның жалпыланған модальдық матрицасы – бұл n × n матрица, оның бағандары векторлар ретінде қарастырылғанда үшін каноникалық негіз құрайды және келесі ережелерге сәйкес орналасады:

Бір вектордан тұратын барлық Джордан тізбектері (яғни, ұзындығы бірге тең векторлар) матрицасының бірінші бағандарында пайда болады. Бір тізбектің барлық векторлары матрицасының іргелес бағандарында біріктіріледі. Әр тізбек өсу ретімен орналасады (яғни, бір тізбектің 1-рангті жалпыланған меншікті векторы сол тізбектің 2-рангті жалпыланған меншікті векторынан бұрын, ал ол 3-рангті жалпыланған меншікті векторынан бұрын пайда болады, және т.б.).

Иорданияның қалыпты нысаны

n өлшемді векторлық кеңістік болсын; L(V) – V-ден өзіне дейінгі барлық сызықтық түрлендірулер жиыны; және белгілі бір реттелген базис бойынша матрицалық бейнелеуі болсын. Егер матрицаның сипаттамалық полиномы сызықтық факторларға жіктелсе, онда оның түрі

болады, мұндағы λᵢ – матрицаның әртүрлі өзіндік мәндері, ал mᵢ – сәйкес өзіндік мәннің алгебралық көптігі. Онда матрица Джорданның канондық түріндегі матрицаға ұқсас, онда әрбір λᵢ диагональда бір-бірінен кейін mᵢ рет орналасады, ал әрбір λᵢ-нің үстіндегі жазылым (яғни супердиагоналда) 0 немесе 1 болады: әрбір λᵢ-нің алғашқы пайда болуының үстіндегі жазылым әрқашан 0-ге тең; супердиагоналдағы қалған жазылымдардың бәрі 1-ге тең. Диагональ мен супердиагоналдан тыс қалған жазылымдардың бәрі 0-ге тең. (Бірақ өзіндік мәндердің немесе белгілі бір өзіндік мәнге сәйкес келетін блоктардың реті белгіленбеген.) Егер матрица диагональдық болса, онда диагональдың үстіндегі барлық жазылымдар 0-ге тең. Кейбір оқулықтарда 1-дер супердиагоналдың орнына субдиагоналда, яғни бас диагональдің төменгі жағында көрсетілгенін ескеріңіз. Өзіндік мәндер әлі де бас диагоналда орналасқан. Кез келген n × n матрицасы ұқсас түрлендіру арқылы алынған Джорданның канондық түріндегі матрицаға ұқсас, мұндағы P – матрицаның жалпыланған модальдық матрицасы (жоғарыдағы ескертуді қараңыз).