Введение

Вектор, удовлетворяющий некоторым критериям собственного вектора

В линейной алгебре обобщенный собственный вектор матрицы – это вектор, удовлетворяющий определенным критериям, которые менее строгие, чем для (обычного) собственного вектора. Пусть V – векторное пространство размерности n, а A – матричное представление линейного отображения из V в V относительно некоторого упорядоченного базиса. Не всегда существует полный набор из n линейно независимых собственных векторов, образующих полный базис для V. То есть, матрица A может быть не диагонализируемой. Это происходит, когда алгебраическая кратность хотя бы одного собственного значения λ больше его геометрической кратности (нуль-пространства матрицы A - λI, или размерности ее ядра). В этом случае λ называется вырожденным собственным значением, а A – вырожденной матрицей. Обобщенный собственный вектор v, соответствующий λ, вместе с матрицей A порождают цепь линейно независимых обобщенных собственных векторов Джордана, которые образуют базис для инвариантного подпространства V. Используя обобщенные собственные векторы, набор линейно независимых собственных векторов можно, при необходимости, расширить до полного базиса для V. Этот базис можно использовать для определения "почти диагональной матрицы" в нормальной форме Жордана, подобной A, которая полезна при вычислении определенных матричных функций A. Матрица A также полезна при решении системы линейных дифференциальных уравнений x' = Ax, где A не обязана быть диагонализируемой. Размер обобщенного собственного пространства, соответствующего данному собственному значению λ, равен алгебраической кратности λ.

Примеры

Вот несколько примеров, иллюстрирующих понятие обобщенных собственных векторов. Некоторые детали будут описаны позднее.

Обобщенная модальная матрица

Пусть A – матрица размера n × n. Обобщенная модальная матрица для A – это матрица размера n × n, столбцы которой, рассматриваемые как векторы, образуют канонический базис для пространства и располагаются в соответствии со следующими правилами:

Все цепи Жордана, состоящие из одного вектора (то есть имеющие длину один), располагаются в первых столбцах матрицы. Все векторы одной цепи располагаются вместе в соседних столбцах матрицы. Каждая цепь располагается в матрице в порядке возрастания ранга (то есть обобщенный собственный вектор ранга 1 появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 2 той же цепи, который появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 3 той же цепи и так далее).

Нормальная форма

Пусть V – n-мерное векторное пространство; пусть T – линейное отображение из L(V), множества всех линейных отображений из V в себя; и пусть A – матричное представление T относительно некоторого упорядоченного базиса. Можно показать, что если характеристический многочлен T раскладывается на линейные множители, так что T имеет вид

где λ₁, …, λₘ – различные собственные значения T, то каждое kᵢ – алгебраическая кратность соответствующего собственного значения λᵢ, и T подобна матрице в жордановой нормальной форме, где каждое λᵢ появляется kᵢ раз подряд на диагонали, а элемент непосредственно над каждым λᵢ (то есть на супердиагонали) равен либо 0, либо 1: элемент над первым вхождением каждого λᵢ всегда равен 0; все остальные элементы на супердиагонали равны 1. Все остальные элементы (то есть вне диагонали и супердиагонали) равны 0. (Но никакой порядок не накладывается на собственные значения или на блоки, соответствующие данному собственному значению.) Матрица в жордановой нормальной форме максимально близка к диагональной форме T. Если T диагонализуема, то все элементы над диагональю равны нулю. Следует отметить, что в некоторых учебниках единицы располагаются на поддиагонали, то есть непосредственно под главной диагональю, а не на супердиагонали. Собственные значения по-прежнему находятся на главной диагонали. Каждая n × n матрица подобна матрице в жордановой нормальной форме, полученной посредством преобразования подобия A = P⁻¹BP, где P – обобщенная модальная матрица для T (см. Примечание выше).