Кіріспе
Математикада, Абель интегралы, норвеж математигі Нильс Хенрик Абельдің есімімен аталған, кешен жазықтығындағы интеграл болып табылады:
мұнда – екі айнымалысының кез келген рациональды функциясы және , олар теңдеу арқылы байланысты:
мұнда – айнымалысы бойынша төмендетілмейтін полином,
оның коэффициенттері , – функцияларының рациональды функциялары. Абель интегралының мәні интегралдау шектеріне ғана емес, сонымен қатар интеграл алынған жолға да байланысты; осылайша, ол -ның көпмәнді функциясы болып табылады. Абель интегралдары эллиптік интегралдардың табиғи жалпыламалары болып табылады, олар мынада туындайды:
Abelian integrals are natural generalizations of elliptic integrals, which arise when
мұнда – 3 немесе 4 дәрежелі полином. Абель интегралының тағы бір ерекше жағдайы гиперэллиптік интеграл болып табылады, мұнда жоғарыдағы формуладағы , – 4-тен жоғары дәрежелі полином.
Тарих
Абель интегралдарының теориясы Абельдің 1841 жылы жариялаған мақаласымен қалыптасты. Бұл мақала 1826 жылы Парижде болған кезде жазылып, сол жылдың қазан айында Огюстен Луи Кошиға ұсынылған. Кейіннен басқалар толықтырып дамытқан бұл теория, 19 ғасыр математикасының маңызды жетістіктерінің бірі болып табылады және қазіргі заманғы математиканың дамуына зор ықпал етті. Көбірек абстрактілі және геометриялық тұрғыдан алғанда, ол абельдік кеңістіктер түсінігінде, немесе дәлірек айтқанда, алгебралық қисықтарды абельдік кеңістіктерге бейнелеуде қамтылған. Абель интегралдары кейіннен көрнекті математик Давид Гильберттің 16-шы мәселесімен байланыстырылды және олар заманауи математикадағы маңызды міндеттердің бірі саналады.
Қазіргі заманғы көзқарас
Риман беттерінің теориясында абельдік интеграл – бірінші түрдегі дифференциалдың белгісіз интегралымен байланысты функция. Бізге Риман беті және оның үстінде барлық жерде голоморфты болатын дифференциалдық 1-форма берілген делік, сондай-ақ интегралдау үшін беттегі бір нүктені бекітейік. Біз оны көпмәнді функция ретінде қарастыра аламыз, немесе (жақсырақ) таңдалған жолдың нақты функциясы ретінде, яғни, берілген нүктеден бастап бетте салынған жол. Бет әдетте көп байланысты болады, сондықтан жолды көрсету қажет, бірақ мәні іс жүзінде тек гомология класына ғана тәуелді болады.
as a multi valued function , or (better) an honest function of the chosen path drawn on from to Since will in general be multiply connected, one should specify , but the value will in fact only depend on the homology class of
In the case of a compact Riemann surface of genus 1, i. e. an elliptic curve, such functions are the elliptic integrals. Logically speaking, therefore, an abelian integral should be a function such as
Such functions were first introduced to study hyperelliptic integrals, i. e., for the case where is a hyperelliptic curve. This is a natural step in the theory of integration to the case of integrals involving algebraic functions , where is a polynomial of degree The first major insights of the theory were given by Abel; it was later formulated in terms of the Jacobian variety Choice of gives rise to a standard holomorphic function
of complex manifolds. It has the defining property that the holomorphic 1 forms on , of which there are g independent ones if g is the genus of S, pull back to a basis for the differentials of the first kind on S.
Егер бет компактты Риман беті және туысы 1 болса, яғни эллиптік қисық болса, онда мұндай функциялар эллиптік интегралдар болып табылады. Демек, логикалық тұрғыдан алғанда, абельдік интеграл мысалы, келесідей функция болуы керек. Мұндай функциялар алғаш рет гиперэллиптік интегралдарды зерттеу үшін енгізілген, яғни, бет гиперэллиптік қисық болған жағдайда. Бұл интегралдау теориясының алгебралық функцияларды қамтитын интегралдарға қарай дамуының табиғи қадамы, мұнда дәрежесі полином болады. Теорияның алғашқы маңызды түсініктерін Абель берді; кейіннен ол Якобтық сортының тұжырымдамасымен формулировкаланды. -ны таңдау кешенді манифольдтардың стандартты голоморфты функциясына әкеледі. Оның анықтамалық қасиеті – S-тегі голоморфты 1-формалар (егер g – S-тің туысы болса, онда g тәуелсіз форма бар) S-тегі бірінші түрдегі дифференциалдардың негізін құрайды.
as a multi valued function , or (better) an honest function of the chosen path drawn on from to Since will in general be multiply connected, one should specify , but the value will in fact only depend on the homology class of
In the case of a compact Riemann surface of genus 1, i. e. an elliptic curve, such functions are the elliptic integrals. Logically speaking, therefore, an abelian integral should be a function such as
Such functions were first introduced to study hyperelliptic integrals, i. e., for the case where is a hyperelliptic curve. This is a natural step in the theory of integration to the case of integrals involving algebraic functions , where is a polynomial of degree The first major insights of the theory were given by Abel; it was later formulated in terms of the Jacobian variety Choice of gives rise to a standard holomorphic function
of complex manifolds. It has the defining property that the holomorphic 1 forms on , of which there are g independent ones if g is the genus of S, pull back to a basis for the differentials of the first kind on S.