Введение
В математике, абелев интеграл, названный в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, — это интеграл в комплексной плоскости вида
where is an arbitrary rational function of the two variables and , which are related by the equation
where is an irreducible polynomial in ,
whose coefficients , are rational functions of The value of an abelian integral depends not only on the integration limits, but also on the path along which the integral is taken; it is thus a multivalued function of
Abelian integrals are natural generalizations of elliptic integrals, which arise when
where is a polynomial of degree 3 or 4. Another special case of an abelian integral is a hyperelliptic integral, where , in the formula above, is a polynomial of degree greater than 4.
где — произвольная рациональная функция двух переменных и , связанных уравнением
where is an arbitrary rational function of the two variables and , which are related by the equation
where is an irreducible polynomial in ,
whose coefficients , are rational functions of The value of an abelian integral depends not only on the integration limits, but also on the path along which the integral is taken; it is thus a multivalued function of
Abelian integrals are natural generalizations of elliptic integrals, which arise when
where is a polynomial of degree 3 or 4. Another special case of an abelian integral is a hyperelliptic integral, where , in the formula above, is a polynomial of degree greater than 4.
где — неприводимый полином относительно , а его коэффициенты , — рациональные функции от . Значение абелева интеграла зависит не только от пределов интегрирования, но и от пути, по которому берется интеграл; таким образом, это многозначная функция от . Абелевы интегралы являются естественным обобщением эллиптических интегралов, которые возникают, когда
where is an arbitrary rational function of the two variables and , which are related by the equation
where is an irreducible polynomial in ,
whose coefficients , are rational functions of The value of an abelian integral depends not only on the integration limits, but also on the path along which the integral is taken; it is thus a multivalued function of
Abelian integrals are natural generalizations of elliptic integrals, which arise when
where is a polynomial of degree 3 or 4. Another special case of an abelian integral is a hyperelliptic integral, where , in the formula above, is a polynomial of degree greater than 4.
где — полином степени 3 или 4. Другим особым случаем абелева интеграла является гиперэллиптический интеграл, когда , в указанной выше формуле, является полиномом степени, большей чем 4.
where is an arbitrary rational function of the two variables and , which are related by the equation
where is an irreducible polynomial in ,
whose coefficients , are rational functions of The value of an abelian integral depends not only on the integration limits, but also on the path along which the integral is taken; it is thus a multivalued function of
Abelian integrals are natural generalizations of elliptic integrals, which arise when
where is a polynomial of degree 3 or 4. Another special case of an abelian integral is a hyperelliptic integral, where , in the formula above, is a polynomial of degree greater than 4.
История
Теория абелевых интегралов берет начало в статье Абеля, опубликованной в 1841 году. Эта статья была написана во время его пребывания в Париже в 1826 году и представлена Огюстену Луи Коши в октябре того же года. Эта теория, впоследствии полностью разработанная другими математиками, стала одним из выдающихся достижений математики XIX века и оказала значительное влияние на развитие современной математики. В более абстрактном и геометрическом изложении она заключена в понятии абелева многообразия, или точнее, в способе отображения алгебраической кривой в абелевы многообразия. Абелевы интегралы позднее были связаны с 16-й проблемой выдающегося математика Давида Гильберта и продолжают рассматриваться как одна из важнейших задач современной математики.
Современный взгляд
В теории поверхностей Римана абелев интеграл — это функция, связанная с неопределённым интегралом дифференциала первого рода. Предположим, что нам дана поверхность Римана и на ней дифференциальная 1-форма, голоморфная всюду на этой поверхности, и фиксируем точку на ней, от которой начинать интегрирование. Мы можем рассматривать
как многозначную функцию, или (лучше) как функцию выбранного пути, проведённого из точки в точку . Поскольку в общем случае будет многосвязной областью, следует указывать , но значение на самом деле будет зависеть только от класса гомологии .
В случае компактной поверхности Римана рода 1, то есть эллиптической кривой, такие функции являются эллиптическими интегралами. Следовательно, логически абелев интеграл должен быть функцией вида . Такие функции были впервые введены для изучения гипереллиптических интегралов, то есть для случая, когда является гипереллиптической кривой. Это естественный шаг в теории интегрирования к случаю интегралов, включающих алгебраические функции, где является многочленом степени . Первые важные идеи теории были предложены Абелем; позже теория была сформулирована в терминах якобиева многообразия. Выбор порождает стандартную голоморфную функцию
Such functions were first introduced to study hyperelliptic integrals, i. e., for the case where is a hyperelliptic curve. This is a natural step in the theory of integration to the case of integrals involving algebraic functions , where is a polynomial of degree The first major insights of the theory were given by Abel; it was later formulated in terms of the Jacobian variety Choice of gives rise to a standard holomorphic function
комплексных многообразий. Она обладает определяющим свойством: голоморфные 1-формы на , которых g штук, если g — род S, переходят в базис для дифференциалов первого рода на S.