Кіріспе
Гиперболалық функциялардың аргументі
In geometry, hyperbolic angle is a real number determined by the area of the corresponding hyperbolic sector of xy = 1 in Quadrant I of the Cartesian plane. The hyperbolic angle parametrises the unit hyperbola, which has hyperbolic functions as coordinates. In mathematics, hyperbolic angle is an invariant measure as it is preserved under hyperbolic rotation. The hyperbola xy = 1 is rectangular with a semi major axis of , analogous to the magnitude of a circular angle corresponding to the area of a circular sector in a circle with radius
Hyperbolic angle is used as the independent variable for the hyperbolic functions sinh, cosh, and tanh, because these functions may be premised on hyperbolic analogies to the corresponding circular trigonometric functions by regarding a hyperbolic angle as defining a hyperbolic triangle. The parameter thus becomes one of the most useful in the calculus of real variables.
Геометрияда гиперболалық бұрыш – Декарт жазықтығының I квадрантындағы xy = 1 гиперболалық сектор ауданымен анықталатын нақты сан. Гиперболалық бұрыш координаталары гиперболалық функциялар болатын бірлік гиперболаны параметрлейді. Математикада гиперболалық бұрыш – гиперболалық айналым кезінде сақталатын өзгермейтін шама. xy = 1 гиперболасы, радиусы белгілі бір шеңбердегі шеңберлік сектор ауданына сәйкес келетін шеңберлік бұрышқа ұқсас жартылай үлкен осьті тікбұрышты гипербола болып табылады.
In geometry, hyperbolic angle is a real number determined by the area of the corresponding hyperbolic sector of xy = 1 in Quadrant I of the Cartesian plane. The hyperbolic angle parametrises the unit hyperbola, which has hyperbolic functions as coordinates. In mathematics, hyperbolic angle is an invariant measure as it is preserved under hyperbolic rotation. The hyperbola xy = 1 is rectangular with a semi major axis of , analogous to the magnitude of a circular angle corresponding to the area of a circular sector in a circle with radius
Hyperbolic angle is used as the independent variable for the hyperbolic functions sinh, cosh, and tanh, because these functions may be premised on hyperbolic analogies to the corresponding circular trigonometric functions by regarding a hyperbolic angle as defining a hyperbolic triangle. The parameter thus becomes one of the most useful in the calculus of real variables.
Гиперболалық бұрыш гиперболалық функциялар sinh, cosh және tanh үшін тәуелсіз айнымалы ретінде қолданылады, себебі бұл функциялар гиперболалық бұрышты гиперболалық үшбұрышты анықтайтын ретінде қарастыру арқылы сәйкес тригонометриялық функцияларға гиперболалық аналогтар негізінде құруға болады. Осылайша, бұл параметр нақты айнымалылар есебіндегі ең пайдалы параметрлердің біріне айналады.
In geometry, hyperbolic angle is a real number determined by the area of the corresponding hyperbolic sector of xy = 1 in Quadrant I of the Cartesian plane. The hyperbolic angle parametrises the unit hyperbola, which has hyperbolic functions as coordinates. In mathematics, hyperbolic angle is an invariant measure as it is preserved under hyperbolic rotation. The hyperbola xy = 1 is rectangular with a semi major axis of , analogous to the magnitude of a circular angle corresponding to the area of a circular sector in a circle with radius
Hyperbolic angle is used as the independent variable for the hyperbolic functions sinh, cosh, and tanh, because these functions may be premised on hyperbolic analogies to the corresponding circular trigonometric functions by regarding a hyperbolic angle as defining a hyperbolic triangle. The parameter thus becomes one of the most useful in the calculus of real variables.
Дөңгелек бұрышпен салыстыру
Бірлік шеңбер радиандағы шеңбер бұрышының жартысына тең ауданы бар шеңберлік секторға ие. Сол сияқты, бірлік гипербола гиперболалық бұрыштың жартысына тең ауданы бар гиперболалық секторға ие. Дөңгелек және гиперболалық жағдайлар арасында проективтік байланыс бар: екі қисық та коникалық қималар болып табылады, сондықтан проективтік геометрияда проективтік диапазон ретінде қарастырылады. Егер осы диапазонның бірінде бастапқы нүкте берілген болса, қалған нүктелер бұрыштарға сәйкес келеді. Ғылымға негізгі бұрыштарды қосу идеясы осы диапазонның біріндегі нүктелерді қосуға сәйкес келеді: Дөңгелек бұрыштар геометриялық тұрғыдан мына қасиетпен сипатталады: егер екі P0P1 және P0P2 хордалары шеңбердің центрінде L1 және L2 бұрыштарын құраса, олардың қосындысы L1 + L2, P0Q хордасы құратын бұрышқа тең болады, мұнда P0Q, P1P2-ге параллель болуы керек. Осы құрылысты гиперболаға да қолдануға болады. Егер P0 нүктесі (1, 1), P1 нүктесі (x1, 1/x1) және P2 нүктесі (x2, 1/x2) деп алынса, онда параллельдік шарты Q нүктесінің (x1x2, 1/(x1x2)) тең болуын талап етеді. Осылайша, P0 нүктесінен қисықтағы кез келген нүктеге дейінгі гиперболалық бұрышты, нүктенің x мәнінің логарифмдік функциясы ретінде анықтауға болады. Евклид геометриясында бастапқы нүктеден сәулеге перпендикуляр бағытта тұрақты қозғалғанда шеңбер, ал псевдо-евклидтік жазықтықта бастапқы нүктеден сәулеге перпендикуляр бағытта тұрақты қозғалғанда гипербола пайда болады. Евклид кеңістігінде берілген бұрыштың еселігі шеңбер бойындағы тең қашықтықты, ал гиперболалық түзу бойындағы экспоненциалды қашықтықты көрсетеді. Дөңгелек және гиперболалық бұрыстар инвариантты өлшемнің мысалдары болып табылады. Шеңбердегі бұрыштық шамасы бар доғалар, шеңбердің бұрылуы немесе айналуы кезінде өз шамасын өзгертпейтін шеңбердегі белгілі бір өлшенетін жиынтықтар бойынша өлшемді тудырады. Гипербола үшін бұрылу қысыммен бейнелеу арқылы жүзеге асырылады, ал гиперболалық бұрыш шамалары жазықтықты (x, y) ↦ (rx, y / r) бейнелеуімен қысқанда өзгермейді, мұнда r > 0.
Circular angles can be characterised geometrically by the property that if two chords P0P1 and P0P2 subtend angles L1 and L2 at the centre of a circle, their sum L1 + L2 is the angle subtended by a chord P0Q, where P0Q is required to be parallel to P1P2. The same construction can also be applied to the hyperbola. If P0 is taken to be the point (1, 1), P1 the point (x1, 1/x1), and P2 the point (x2, 1/x2), then the parallel condition requires that Q be the point (x1x2, 1/x11/x2). It thus makes sense to define the hyperbolic angle from P0 to an arbitrary point on the curve as a logarithmic function of the point's value of x. Whereas in Euclidean geometry moving steadily in an orthogonal direction to a ray from the origin traces out a circle, in a pseudo Euclidean plane steadily moving orthogonally to a ray from the origin traces out a hyperbola. In Euclidean space, the multiple of a given angle traces equal distances around a circle while it traces exponential distances upon the hyperbolic line. Both circular and hyperbolic angle provide instances of an invariant measure. Arcs with an angular magnitude on a circle generate a measure on certain measurable sets on the circle whose magnitude does not vary as the circle turns or rotates. For the hyperbola the turning is by squeeze mapping, and the hyperbolic angle magnitudes stay the same when the plane is squeezed by a mapping
(x, y) ↦ (rx, y / r), with r > 0 .
Тарих
Гиперболаның квадратурасы – гиперболалық сектордың ауданын есептеу болып табылады. Оның асимптотаға қарсы сәйкес ауданға тең екенін көрсетуге болады. Квадратураны алғаш рет Грегуар де Сент-Винсент 1647 жылы «Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni» еңбегінде жасаған. Бір тарихшының айтуынша, [ол] гиперболаның асимптотасына қарай квадратурасын жасады және аудан арифметикалық прогрессиямен өскенде абсциссалар геометриялық прогрессиямен өсетінін көрсетті. А. А. де Сараса квадратураны логарифм ретінде интерпретациялады, сонымен геометриялық түрде анықталған натурал логарифм (немесе «гиперболалық логарифм») 1=y = 1/x қисығы астындағы, 1=x = 1 нүктесінің оң жағындағы аудан ретінде түсініледі. Трансценденттік функцияның мысалы ретінде логарифм оны тудырған гиперболалық бұрыштан көбінесе таныс. Дегенмен, гиперболалық бұрыш Сент-Винсент теоремасы сығу түрлендіруімен дамытылғанда маңызды рөл атқарады. А. Де Морган айналмалы тригонометрияны өз оқулығында гиперболаға дейін кеңейтті. 1878 жылы У. К. Клиффорд гиперболалық бұрышты бірлік гиперболаны параметризациялау үшін пайдаланды, оны «квазигармониялық қозғалыс» деп сипаттады. 1894 жылы Александр Макфарлейн «Алгебраның қиялы» атты эссесін таратты, онда гиперболалық бұрыштар гиперболалық версорларды жасау үшін қолданылған, бұл эссе оның «Кеңістік талдауы бойынша мақалалар» кітабында жарияланған. Келесі жылы «Америка математикалық қоғамының бюллетені» Меллен В. Хаскеллдің гиперболалық функциялардың схемасын жариялады. Людвик Сильберштейн 1914 жылы жаңа салыстырмалылық теориясы туралы танымал оқулығын жазғанда, ол гиперболалық бұрыш α негізіндегі жылдамдық тұжырымын қолданды, мұнда 1=tanh α = v/c, яғни жылдамдық v пен жарық жылдамдығының арақатынасы. Ол былай деп жазды:
[He made the] quadrature of a hyperbola to its asymptotes, and showed that as the area increased in arithmetic series the abscissas increased in geometric series. A. A. de Sarasa interpreted the quadrature as a logarithm and thus the geometrically defined natural logarithm (or "hyperbolic logarithm") is understood as the area under 1=y = 1/x to the right of 1=x = 1. As an example of a transcendental function, the logarithm is more familiar than its motivator, the hyperbolic angle. Nevertheless, the hyperbolic angle plays a role when the theorem of Saint Vincent is advanced with squeeze mapping. Circular trigonometry was extended to the hyperbola by Augustus De Morgan in his textbook Trigonometry and Double Algebra. In 1878 W. K. Clifford used the hyperbolic angle to parametrize a unit hyperbola, describing it as "quasi harmonic motion". In 1894 Alexander Macfarlane circulated his essay "The Imaginary of Algebra", which used hyperbolic angles to generate hyperbolic versors, in his book Papers on Space Analysis. The following year Bulletin of the American Mathematical Society published Mellen W. Haskell's outline of the hyperbolic functions. When Ludwik Silberstein penned his popular 1914 textbook on the new theory of relativity, he used the rapidity concept based on hyperbolic angle a, where 1=tanh a = v/c, the ratio of velocity v to the speed of light. He wrote:
Бірлік жылдамдыққа жарық жылдамдығының 3/4-іне тең үлкен жылдамдық сәйкес келетінін атап өтуге болады; дәлірек айтқанда, 1=a=1 үшін 1=v=(.7616)c. [ ] Жылдамдық 1=a=1, [ ] демек, .76c жылдамдығын білдіреді, бұл судағы жарық жылдамдығынан сәл жоғары. Сильберштейн сондай-ақ Лобачевскийдің параллелизм бұрышы Π(α) тұжырымын 1=cos Π(α) = v/c алу үшін пайдаланды.