Введение
Аргумент гиперболических функций
In geometry, hyperbolic angle is a real number determined by the area of the corresponding hyperbolic sector of xy = 1 in Quadrant I of the Cartesian plane. The hyperbolic angle parametrises the unit hyperbola, which has hyperbolic functions as coordinates. In mathematics, hyperbolic angle is an invariant measure as it is preserved under hyperbolic rotation. The hyperbola xy = 1 is rectangular with a semi major axis of , analogous to the magnitude of a circular angle corresponding to the area of a circular sector in a circle with radius
Hyperbolic angle is used as the independent variable for the hyperbolic functions sinh, cosh, and tanh, because these functions may be premised on hyperbolic analogies to the corresponding circular trigonometric functions by regarding a hyperbolic angle as defining a hyperbolic triangle. The parameter thus becomes one of the most useful in the calculus of real variables.
В геометрии гиперболический угол — это действительное число, определяемое площадью соответствующего гиперболического сектора гиперболы xy = 1 в первом квадранте декартовой плоскости. Гиперболический угол параметризует единичную гиперболу, координаты которой выражаются гиперболическими функциями. В математике гиперболический угол является инвариантной мерой, поскольку он сохраняется при гиперболическом повороте. Гипербола xy = 1 является прямоугольной гиперболой с полубольшой осью, аналогично тому, как величина кругового угла соответствует площади кругового сектора в окружности радиуса.
In geometry, hyperbolic angle is a real number determined by the area of the corresponding hyperbolic sector of xy = 1 in Quadrant I of the Cartesian plane. The hyperbolic angle parametrises the unit hyperbola, which has hyperbolic functions as coordinates. In mathematics, hyperbolic angle is an invariant measure as it is preserved under hyperbolic rotation. The hyperbola xy = 1 is rectangular with a semi major axis of , analogous to the magnitude of a circular angle corresponding to the area of a circular sector in a circle with radius
Hyperbolic angle is used as the independent variable for the hyperbolic functions sinh, cosh, and tanh, because these functions may be premised on hyperbolic analogies to the corresponding circular trigonometric functions by regarding a hyperbolic angle as defining a hyperbolic triangle. The parameter thus becomes one of the most useful in the calculus of real variables.
Гиперболический угол используется в качестве независимой переменной для гиперболических функций sinh, cosh и tanh, поскольку эти функции можно рассматривать как аналогичные соответствующим тригонометрическим функциям, основываясь на гиперболических аналогиях, при этом гиперболический угол определяет гиперболический треугольник. Таким образом, этот параметр становится одним из наиболее полезных в дифференциальном и интегральном исчислении функций действительной переменной.
In geometry, hyperbolic angle is a real number determined by the area of the corresponding hyperbolic sector of xy = 1 in Quadrant I of the Cartesian plane. The hyperbolic angle parametrises the unit hyperbola, which has hyperbolic functions as coordinates. In mathematics, hyperbolic angle is an invariant measure as it is preserved under hyperbolic rotation. The hyperbola xy = 1 is rectangular with a semi major axis of , analogous to the magnitude of a circular angle corresponding to the area of a circular sector in a circle with radius
Hyperbolic angle is used as the independent variable for the hyperbolic functions sinh, cosh, and tanh, because these functions may be premised on hyperbolic analogies to the corresponding circular trigonometric functions by regarding a hyperbolic angle as defining a hyperbolic triangle. The parameter thus becomes one of the most useful in the calculus of real variables.
Сравнение с круговым углом
Единичный круг имеет круговой сектор, площадь которого равна половине кругового угла в радианах. Аналогично, единичная гипербола имеет гиперболический сектор, площадь которого равна половине гиперболического угла. Существует также проективная связь между круговым и гиперболическим случаями: обе кривые являются коническими сечениями и, следовательно, рассматриваются как проективные диапазоны в проективной геометрии. Если задана точка отсчета в одном из этих диапазонов, то другие точки соответствуют углам. Идея сложения углов, фундаментальная для науки, соответствует сложению точек в одном из этих диапазонов следующим образом: Круговые углы можно геометрически охарактеризовать свойством, заключающимся в том, что если две хорды P0P1 и P0P2 опираются на углы L1 и L2 в центре круга, то их сумма L1 + L2 равна углу, опирающемуся на хорду P0Q, где P0Q должна быть параллельна P1P2. Та же конструкция применима и к гиперболе. Если P0 принять за точку (1, 1), P1 за точку (x1, 1/x1), а P2 за точку (x2, 1/x2), то условие параллельности требует, чтобы Q была точкой (x1x2, 1/(x1x2)). Таким образом, имеет смысл определить гиперболический угол от P0 до произвольной точки на кривой как логарифмическую функцию значения x этой точки. В то время как в евклидовой геометрии равномерное движение в направлении, ортогональном лучу из начала координат, описывает круг, в псевдоевклидовой плоскости равномерное движение в ортогональном направлении к лучу из начала координат описывает гиперболу. В евклидовом пространстве кратное заданному углу описывает равные расстояния по окружности, а на гиперболической прямой – экспоненциальные расстояния. И круговой, и гиперболический углы представляют собой примеры инвариантной меры. Дуги с угловой величиной на окружности генерируют меру на определенных измеримых множествах на окружности, величина которой не изменяется при повороте окружности. Для гиперболы поворот осуществляется посредством сжимающего отображения, и величины гиперболических углов остаются неизменными при сжатии плоскости отображением (x, y) ↦ (rx, y / r), где r > 0.
Circular angles can be characterised geometrically by the property that if two chords P0P1 and P0P2 subtend angles L1 and L2 at the centre of a circle, their sum L1 + L2 is the angle subtended by a chord P0Q, where P0Q is required to be parallel to P1P2. The same construction can also be applied to the hyperbola. If P0 is taken to be the point (1, 1), P1 the point (x1, 1/x1), and P2 the point (x2, 1/x2), then the parallel condition requires that Q be the point (x1x2, 1/x11/x2). It thus makes sense to define the hyperbolic angle from P0 to an arbitrary point on the curve as a logarithmic function of the point's value of x. Whereas in Euclidean geometry moving steadily in an orthogonal direction to a ray from the origin traces out a circle, in a pseudo Euclidean plane steadily moving orthogonally to a ray from the origin traces out a hyperbola. In Euclidean space, the multiple of a given angle traces equal distances around a circle while it traces exponential distances upon the hyperbolic line. Both circular and hyperbolic angle provide instances of an invariant measure. Arcs with an angular magnitude on a circle generate a measure on certain measurable sets on the circle whose magnitude does not vary as the circle turns or rotates. For the hyperbola the turning is by squeeze mapping, and the hyperbolic angle magnitudes stay the same when the plane is squeezed by a mapping
(x, y) ↦ (rx, y / r), with r > 0 .
История
Квадратура гиперболы — это вычисление площади гиперболического сектора. Можно показать, что она равна площади соответствующего сектора, ограниченного асимптотой. Впервые квадратуру выполнил Грегуар де Сен-Венсан в 1647 году в труде Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni. Как выразился один историк, [он выполнил] квадратуру гиперболы относительно её асимптот и показал, что при увеличении площади в арифметической прогрессии абсциссы увеличиваются в геометрической прогрессии. А. А. де Сараса интерпретировал квадратуру как логарифм, и таким образом геометрически определённый натуральный логарифм (или «гиперболический логарифм») понимается как площадь под графиком функции 1/y = 1/x справа от точки x = 1. Логарифм, как пример трансцендентной функции, более знаком, чем его источник — гиперболический угол. Тем не менее, гиперболический угол играет роль при применении теоремы Сен-Венсана с использованием сжимающего отображения. Август Де Морган расширил круговую тригонометрию на гиперболу в своём учебнике «Тригонометрия и двойная алгебра». В 1878 году У. К. Клиффорд использовал гиперболический угол для параметризации единичной гиперболы, описывая её как «квазигармоническое движение». В 1894 году Александр Макфарлейн опубликовал эссе «Воображаемое в алгебре», в котором использовал гиперболические углы для генерации гиперболических версоров, в своей книге «Труды по анализу пространства». В следующем году «Бюллетень Американского математического общества» опубликовал очерк Меллена У. Хаскелла об гиперболических функциях. Когда Людвик Сильберштейн написал свой популярный учебник 1914 года о новой теории относительности, он использовал концепцию быстроты, основанную на гиперболическом угле α, где 1/tanh α = v/c — отношение скорости v к скорости света. Он писал:
[He made the] quadrature of a hyperbola to its asymptotes, and showed that as the area increased in arithmetic series the abscissas increased in geometric series. A. A. de Sarasa interpreted the quadrature as a logarithm and thus the geometrically defined natural logarithm (or "hyperbolic logarithm") is understood as the area under 1=y = 1/x to the right of 1=x = 1. As an example of a transcendental function, the logarithm is more familiar than its motivator, the hyperbolic angle. Nevertheless, the hyperbolic angle plays a role when the theorem of Saint Vincent is advanced with squeeze mapping. Circular trigonometry was extended to the hyperbola by Augustus De Morgan in his textbook Trigonometry and Double Algebra. In 1878 W. K. Clifford used the hyperbolic angle to parametrize a unit hyperbola, describing it as "quasi harmonic motion". In 1894 Alexander Macfarlane circulated his essay "The Imaginary of Algebra", which used hyperbolic angles to generate hyperbolic versors, in his book Papers on Space Analysis. The following year Bulletin of the American Mathematical Society published Mellen W. Haskell's outline of the hyperbolic functions. When Ludwik Silberstein penned his popular 1914 textbook on the new theory of relativity, he used the rapidity concept based on hyperbolic angle a, where 1=tanh a = v/c, the ratio of velocity v to the speed of light. He wrote:
Кажется уместным отметить, что единичной быстроте соответствует огромная скорость, равная 3/4 скорости света; точнее, при 1/α = 1 имеем 1/v = 0.7616c. [ ] Следовательно, быстрота 1/α = 1 [ ] соответствует скорости 0.76c, которая немного превышает скорость света в воде. Сильберштейн также использует концепцию угла параллельности Лобачевского Π(α) для получения 1/cos Π(α) = v/c.