Кіріспе
Сызықтық карталау бірдей ауданы бар тіктөртбұрыштарды өзгерту
In linear algebra, a squeeze mapping, also called a squeeze transformation, is a type of linear map that preserves Euclidean area of regions in the Cartesian plane, but is not a rotation or shear mapping. For a fixed positive real number a, the mapping
is the squeeze mapping with parameter a. Since
is a hyperbola, if and , then and the points of the image of the squeeze mapping are on the same hyperbola as (x,y) is. For this reason it is natural to think of the squeeze mapping as a hyperbolic rotation, as did Émile Borel in 1914, by analogy with circular rotations, which preserve circles.
Сызықтық алгебрада сығу картасы, сондай-ақ сығу түрлендіруі деп те аталады, – бұл Картезиан жазықтығындағы аймақтардың Евклидтік ауданын сақтайтын, бірақ айналу немесе иілу картасы емес сызықтық картаның бір түрі. Белгілі бір оң нақты сан a үшін, келесі карта
In linear algebra, a squeeze mapping, also called a squeeze transformation, is a type of linear map that preserves Euclidean area of regions in the Cartesian plane, but is not a rotation or shear mapping. For a fixed positive real number a, the mapping
is the squeeze mapping with parameter a. Since
is a hyperbola, if and , then and the points of the image of the squeeze mapping are on the same hyperbola as (x,y) is. For this reason it is natural to think of the squeeze mapping as a hyperbolic rotation, as did Émile Borel in 1914, by analogy with circular rotations, which preserve circles.
a параметрімен сығу картасы болып табылады. – гипербола болғандықтан, егер және болса, онда және сығу картасының бейнесіндегі нүктелер (x, y) гиперболасындағыдай бір гиперболаның бойында жатады. Осы себепті Эмиль Борель 1914 жылы жасағандай, сығу картасын шеңберлерді сақтайтын дөңгелек айналымдарымен салыстыра отырып, гиперболалық айналым ретінде қарастыру табиғи.
In linear algebra, a squeeze mapping, also called a squeeze transformation, is a type of linear map that preserves Euclidean area of regions in the Cartesian plane, but is not a rotation or shear mapping. For a fixed positive real number a, the mapping
is the squeeze mapping with parameter a. Since
is a hyperbola, if and , then and the points of the image of the squeeze mapping are on the same hyperbola as (x,y) is. For this reason it is natural to think of the squeeze mapping as a hyperbolic rotation, as did Émile Borel in 1914, by analogy with circular rotations, which preserve circles.
Логарифм және гиперболалық бұрыш
Сығу картасы логарифмдер тұжырымдамасын дамытуға жағдай жасайды. Гиперболамен шектелген ауданды табу мәселесі (мысалы, квадраттураның бір түрі) – бұл мәселе. Грегор де Сент-Винсент пен Альфонс Антонио де Сараса 1647 жылы тапқан шешімге жаңа түсінік – табиғи логарифм функциясы қажет болды. Логарифмдер туралы түсініктер сығу карталары арқылы аумағы сақталатын гиперболалық секторлар арқылы көрінеді. Гиперболалық сектордың ауданы сол сектормен байланысты гиперболалық бұрыштың өлшемі ретінде қарастырылады. Гиперболалық бұрыш тұжырымдамасы дөңгелек бұрыштан толығымен тәуелсіз, бірақ онымен бірдей инварианттылық қасиетін бөліседі: дөңгелек бұрыш айналу кезінде инвариантты болса, гиперболалық бұрыш сығу картасында инвариантты болады. Дөңгелек және гиперболалық бұрыштар әртүрлі түрлендіру топтарына қатысты инвариантты өлшемдерді тудырады. Гиперболалық функциялар гиперболалық бұрышты аргумент ретінде қабылдайды, бұл дөңгелек функциялар дөңгелек бұрыш аргументімен атқаратын рөлге ұқсас.
Қолданбалар
Мұнда кейбір қолданыстар тарихи анықтамалармен қысқаша баяндалған.
Салыстырмалы кеңістік-уақыт
Уақыт-кеңістік геометриясы әдетте келесідей дамытылады: Уақыт-кеңістіктегі "мұнда және қазір" үшін (0,0) таңдаңыз. Бұл орталық оқиға арқылы сол және оң жаққа таралатын жарық, уақыт-кеңістікте екі сызық құрайды, олар (0,0) нүктесінен алыс жатқан оқиғаларға координаталар беру үшін қолданылуы мүмкін. Төмен жылдамдықпен қозғалатын траекториялар бастапқы уақыт сызығына (0,t) жақындау болады. Кез келген мұндай жылдамдық Лоренц күшейткіші деп аталатын сығу түрлендіру арқылы нөлдік жылдамдық ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл түсінік, бөлінген кешендік сандардың көбейтілуін және жарық сызықтарының жұбына сәйкес келетін диагональдық негізді зерттеу нәтижесінде туындайды. Формальды түрде, сығу xy түрінде берілген гиперболалық метриканы басқа координата жүйесінде сақтайды. Осы қолданылуды салыстырмалылық теориясында 1912 жылы Уилсон мен Льюис, Вернер Грюб және Луис Кауфман атап көрсеткен. Сонымен қатар, Лоренц түрлендірулерінің сығу түрлендіру түрін Г. Герглоц (1909/10) Борн қатаңдығын талқылағанда қолданған, ал Волфганг Риндлер оны салыстырмалылық теориясы бойынша оқулығында кеңінен таныстырды, оның ерекше қасиеттерін көрсету үшін пайдаланды. Лоренц тобын оптикадағы Джонс есебімен байланыстыратын мақалада осы контексте "сығу түрлендіруі" термині қолданылған.