Введение

Линейное отображение, переставляющее прямоугольники одинаковой площади

В линейной алгебре отображение сжатия, также называемое преобразованием сжатия, является типом линейного отображения, сохраняющим евклидову площадь областей на декартовой плоскости, но не являющимся отображением вращения или сдвига. Для фиксированного положительного действительного числа *a* отображение

является отображением сжатия с параметром *a*. Поскольку

является гиперболой, если *x* > 0 и *y* > 0, то *xy* > 0, и точки образа отображения сжатия лежат на той же гиперболе, что и точка (x, y). По этой причине Эмиль Борель в 1914 году предложил рассматривать отображение сжатия как гиперболическое вращение, по аналогии с круговыми вращениями, сохраняющими окружности.

Логарифм и гиперболический угол

Картировка сжатия закладывает основу для развития концепции логарифмов. Задача определения площади, ограниченной гиперболой (например, является задачей квадратур. Решение, найденное Грегуаром де Сен-Винсентом и Альфонсом Антонио де Сараса в 1647 году, требовало использования функции натурального логарифма – новой концепции. Понимание логарифмов приходит через гиперболические сектора, которые переставляются посредством картировок сжатия с сохранением их площади. Площадь гиперболического сектора принимается за меру гиперболического угла, связанного с этим сектором. Концепция гиперболического угла вполне независима от обычного кругового угла, но разделяет с ним свойство инвариантности: если круговой угол инвариантен относительно вращения, то гиперболический угол инвариантен относительно сжатия. И круговой, и гиперболический углы порождают инвариантные меры, но относительно разных групп преобразований. Гиперболические функции, принимающие гиперболический угол в качестве аргумента, выполняют ту же роль, что и тригонометрические функции, принимающие круговой угол в качестве аргумента.

Приложения

Здесь приведены краткие сведения о некоторых областях применения с историческими справками.

Релятивистское пространство-время

Геометрия пространства-времени обычно строится следующим образом: выбирают точку (0,0) в качестве "здесь и сейчас" в пространстве-времени. Лучи света, исходящие влево и вправо из этой центральной точки, описывают две линии в пространстве-времени, которые можно использовать для задания координат событиям, удаленным от (0,0). Траектории с меньшей скоростью проходят ближе к исходной временной линии (0,t). Любую такую скорость можно рассматривать как нулевую при применении сжимающего преобразования, называемого преобразованием Лоренца. Это понимание вытекает из изучения умножения расщепленных комплексных чисел и диагонального базиса, соответствующего паре световых линий. Формально, сжатие сохраняет гиперболическую метрику, выраженную в виде xy, в другой системе координат. Это применение в теории относительности было отмечено в 1912 году Уилсоном и Льюисом, Вернером Греубом и Луисом Кауфманом. Более того, сжимающая форма преобразований Лоренца была использована Густавом Герглоцем (1909/10) при обсуждении жесткости Борна и была популяризирована Вольфгангом Риндлером в его учебнике по теории относительности, где он использовал ее для демонстрации их характерного свойства. Термин "сжимающее преобразование" был использован в этом контексте в статье, связывающей группу Лоренца с исчислением Джонса в оптике.