Кіріспе
Жалпыланған Картан матрицасы арқылы генераторлар мен қатынастар арқылы анықталатын Ли алгебрасы. Математикада Кац-Муди алгебрасы (Виктор Кац және Роберт Муди есімдерімен аталады, олар 1968 жылы тәуелсіз және бір уақытта оларды ашты) – әдетте шексіз өлшемді Ли алгебрасы, ол генераторлар мен қатынастар арқылы жалпыланған Картан матрицасы арқылы анықталады. Бұл алгебралар шекті өлшемді жартылай жай Ли алгебраларының жалпылауын құрайды, және Ли алгебрасының құрылымына қатысты көптеген қасиеттер, мысалы, оның түбірлік жүйесі, ирредуктибелді бейнелеулері және флаг манифольдтарымен байланысы, Кац-Муди жағдайында табиғи аналогтарға ие. Кац-Муди алгебраларының аффинді Ли алгебралары деп аталатын класы математика мен теориялық физикада, әсіресе екі өлшемді конформдық өріс теориясында және дәл шешілетін модельдер теориясында ерекше маңызға ие. Кац белгілі бір комбинаторлық теңдіктердің, Макдональд теңдіктерінің әдемі дәлелін тапты, ол аффинді Кац-Муди алгебраларының бейнелеу теориясына негізделген. Говард Гарланд және Джеймс Леповски Роджерс-Раманужан теңдіктерін ұқсас жолмен алуға болатынын көрсетті.
In mathematics, a Kac–Moody algebra (named for Victor Kac and Robert Moody, who independently and simultaneously discovered them in 1968) is a Lie algebra, usually infinite dimensional, that can be defined by generators and relations through a generalized Cartan matrix. These algebras form a generalization of finite dimensional semisimple Lie algebras, and many properties related to the structure of a Lie algebra such as its root system, irreducible representations, and connection to flag manifolds have natural analogues in the Kac–Moody setting. A class of Kac–Moody algebras called affine Lie algebras is of particular importance in mathematics and theoretical physics, especially two dimensional conformal field theory and the theory of exactly solvable models. Kac discovered an elegant proof of certain combinatorial identities, the Macdonald identities, which is based on the representation theory of affine Kac–Moody algebras. Howard Garland and James Lepowsky demonstrated that Rogers–Ramanujan identities can be derived in a similar fashion.
КацМуди алгебрасының тарихы
Эли Картан мен Вильгельм Киллингтің Картан бүтін сандарынан шекті өлшемді қарапайым Ли алгебраларын бастапқы құрастыруы типке тәуелді болды. 1966 жылы Жан-Пьер Серр Клод Шевалье мен Хариш Чандраның қатынастарын, Натан Джейкобсонның жеңілдетуімен, Ли алгебрасының анықтамалық берілуін көрсетті. Осылайша, қарапайым Ли алгебрасын генераторлар мен қатынастар тұрғысынан сипаттауға болады, бұл Картан бүтін сандарының матрицасынан алынған деректерді пайдалана отырып, табиғи түрде оң анықталған. "Шамамен бір уақытта 1967 жылы КСРО-да Виктор Кац пен Канадада Роберт Муди Кац-Муди алгебрасы болашақта аталған жаңа алгебраны жасады. Кац пен Муди Вильгельм Киллингтің шарттарын жеңілдеткен жағдайда, Картан матрицасына Ли алгебрасын байланыстыру әлі де мүмкін екенін байқады, ол міндетті түрде шексіз өлшемді болады". – А. Дж. Коулман.
1967 жылғы диссертациясында Роберт Муди Картан матрицасы оң анықталмаған Ли алгебраларын қарастырды. Бұл әлі де Ли алгебрасына әкелді, бірақ қазір ол шексіз өлшемді. Сонымен қатар, Z-сатыласқан Ли алгебралары Мәскеуде зерттелді, онда И. Л. Кантор жалпы Ли алгебраларының класын енгізіп, зерттеді, оның ішінде ақырында Кац-Муди алгебрасы деп аталғандары да болды. Виктор Кац сонымен қатар полиномиалдық өсімге ие қарапайым немесе дерлік қарапайым Ли алгебраларын зерттеді. Шексіз өлшемді Ли алгебраларының бай математикалық теориясы қалыптасты. Бұл тақырыпқа көптеген авторлардың еңбектері де кіретін есеп (Kac 1990) кітабында келтірілген. Сондай-ақ (Seligman 1987) еңбегін қараңыз.
Кіріспе
n×n жалпыланған Картан матрицасы берілген жағдайда, генераторлар арқылы анықталатын Ли алгебрасын құрастыруға болады, және барлық үшін келесі қатынастар орындалады:
;
;
, мұнда δ Кронекер дельтасы;
Егер (яғни ) болса, онда және , мұнда – алгебраның қосымша өкілдігі.
"Симметриялылық" шарты орындалғанда, бұл аффинді Как-Муди алгебрасының туынды субальгебрасымен сәйкестендіріледі, ол төменде анықталған.
for all ;
;
;
, where is the Kronecker delta;
If (so ) then and , where is the adjoint representation of
Under a "symmetrizability" assumption, identifies with the derived subalgebra of the affine Kac Moody algebra defined below.
КацМоуди алгебрасының түрлері
Кац–Муди алгебрасының қасиеттері оның жалпыланған Картан матрицасы C-нің алгебралық қасиеттерімен анықталады. Кац–Муди алгебраларын жіктеу үшін, ыдырамайтын матрица C-ні қарастыру жеткілікті, яғни I индекстер жиынының I1 және I2 бос емес ішкі жиындарының бірікпеген жиынына ыдырауы жоқ деп есептеу керек, яғни Cij = 0 барлық i ∈ I1 және j ∈ I2 үшін. Жалпыланған Картан матрицасының кез келген ыдырауы сәйкес Кац–Муди алгебрасының тікелей қосындысына әкеледі:
мұнда оң жақтағы екі Кац–Муди алгебрасы C-нің I1 және I2 индекстер жиындарына сәйкес келетін ішкі матрицаларымен байланысты. Кац–Муди алгебраларының маңызды кіші класы симметризацияланатын жалпыланған Картан матрицалары C-ге сәйкес келеді, оны DS түрінде жіктеуге болады, мұнда D – оң бүтін сандармен толтырылған диагональдық матрица, ал S – симметриялық матрица. Егер C симметризацияланатын және ыдырамайтын болса, онда Кац–Муди алгебралары үш классқа бөлінеді:
Оң анықталған матрица S шекті өлшемді жай ғана Ли алгебрасын тудырады. Оң жартылай анықталған матрица S аффиндік типтегі шексіз өлшемді Кац–Муди алгебрасын немесе аффиндік Ли алгебрасын тудырады. Белгісіз матрица S белгісіз типтегі Кац–Муди алгебрасын тудырады. C және S матрицаларының диагональдық элементтері оң болғандықтан, S теріс анықталған немесе теріс жартылай анықталған бола алмайды. Симметризацияланатын, ыдырамайтын, жалпыланған, шекті және аффиндік Картан матрицалары толыққандай жіктелген. Олар Дикин диаграммаларына және аффиндік Дикин диаграммаларына сәйкес келеді. Кац–Муди алгебраларының белгісіз типтері туралы ақпарат аз, бірақ осы Кац–Муди алгебраларына сәйкес келетін топтар Жак Титс тарапынан кез келген өрістерде құрастырылған. Белгісіз типтегі Кац–Муди алгебраларының арасында, көбінесе гиперболалық типке назар аударылады, онда S матрицасы белгісіз, бірақ I-дің кез келген дұрыс ішкі жиыны үшін сәйкес ішкі матрица оң анықталған немесе оң жартылай анықталған. Гиперболалық Кац–Муди алгебраларының ранги ең көп дегенде 10-ға жетеді және олар толыққандай жіктелген. Рангі 2-ге тең алгебралар шексіз көп, ал рангі 3-тен 10-ға дейінгі 238 алгебра бар.