Введение
Алгебра Ли, которая может быть определена генераторами и соотношениями через обобщённую матрицу Картана. В математике алгебра Каца — Муди (названа в честь Виктора Каца и Роберта Муди, которые независимо и одновременно открыли их в 1968 году) — это алгебра Ли, как правило, бесконечномерная, которая может быть определена генераторами и соотношениями через обобщённую матрицу Картана. Эти алгебры являются обобщением конечномерных полупростых алгебр Ли, и многие свойства, связанные со структурой алгебры Ли, такие как её корневая система, неприводимые представления и связь с флаговыми многообразиями, имеют естественные аналоги в контексте Каца — Муди. Особое значение в математике и теоретической физике, особенно в двухмерной конформной теории поля и теории точно решаемых моделей, имеет класс алгебр Каца — Муди, называемый аффинными алгебрами Ли. Кац обнаружил элегантное доказательство определённых комбинаторных тождеств, тождеств Макдональда, основанное на теории представлений аффинных алгебр Каца — Муди. Говард Гарланд и Джеймс Леповски показали, что тождества Роджерса — Рамануджана могут быть выведены аналогичным образом.
In mathematics, a Kac–Moody algebra (named for Victor Kac and Robert Moody, who independently and simultaneously discovered them in 1968) is a Lie algebra, usually infinite dimensional, that can be defined by generators and relations through a generalized Cartan matrix. These algebras form a generalization of finite dimensional semisimple Lie algebras, and many properties related to the structure of a Lie algebra such as its root system, irreducible representations, and connection to flag manifolds have natural analogues in the Kac–Moody setting. A class of Kac–Moody algebras called affine Lie algebras is of particular importance in mathematics and theoretical physics, especially two dimensional conformal field theory and the theory of exactly solvable models. Kac discovered an elegant proof of certain combinatorial identities, the Macdonald identities, which is based on the representation theory of affine Kac–Moody algebras. Howard Garland and James Lepowsky demonstrated that Rogers–Ramanujan identities can be derived in a similar fashion.
История алгебры Кака Муди
Первоначальное построение Эли Картаном и Вильгельмом Киллингом конечномерных простых алгебр Ли из целых чисел Картана зависело от типа. В 1966 году Жан-Пьер Серр показал, что соотношения Клода Шевалье и Хариша Чандры, с упрощениями Натана Джейкобсона, дают определяющее представление для алгебры Ли. Таким образом, можно было описать простую алгебру Ли в терминах образующих и соотношений, используя данные из матрицы целых чисел Картана, которая по природе своей является положительно определенной. "Почти одновременно, в 1967 году, Виктор Кац в СССР и Роберт Муди в Канаде разработали то, что впоследствии стало алгеброй Каца — Муди. Кац и Муди заметили, что если ослабить условия Вильгельма Киллинга, то все равно можно связать с матрицей Картана алгебру Ли, которая, неизбежно, будет бесконечномерной." – А. Дж. Коулман
В своей диссертации 1967 года Роберт Муди рассматривал алгебры Ли, матрица Картана которых больше не является положительно определенной. Это все еще приводило к алгебре Ли, но уже бесконечномерной. Одновременно в Москве изучались Z-градуированные алгебры Ли, где И. Л. Кантор ввел и исследовал общий класс алгебр Ли, включающий то, что в конечном итоге стало известно как алгебры Каца — Муди. Виктор Кац также изучал простые или почти простые алгебры Ли с полиномиальным ростом. Развилась богатая математическая теория бесконечномерных алгебр Ли. Описание этой темы, включающее работы многих других авторов, приводится в (Kac 1990). См. также (Seligman 1987).
Введение
При наличии обобщенной матрицы Картана размера n×n можно построить алгебру Ли, заданную генераторами , , и соотношениями:
для всех ;
;
;
, где – дельта Кронекера;
Если (то есть ), то и , где – сопряженное представление .
При условии "симметризуемости" , отождествляется с производной субальгеброй аффинной алгебры Каца — Муди, определенной ниже.
for all ;
;
;
, where is the Kronecker delta;
If (so ) then and , where is the adjoint representation of
Under a "symmetrizability" assumption, identifies with the derived subalgebra of the affine Kac Moody algebra defined below.
Типы алгебр КацМуди
Свойства алгебры Каца — Муди определяются алгебраическими свойствами её обобщённой матрицы Картана C. Для классификации алгебр Каца — Муди достаточно рассмотреть случай неразложимой матрицы C, то есть предположить, что не существует разложения множества индексов I в непересекающееся объединение непустых подмножеств I1 и I2, таких что Cij = 0 для всех i из I1 и j из I2. Любое разложение обобщённой матрицы Картана приводит к разложению в прямую сумму соответствующей алгебры Каца — Муди:
где две алгебры Каца — Муди в правой части соответствуют подматрицам C, соответствующим наборам индексов I1 и I2. Важный подкласс алгебр Каца — Муди соответствует симметризуемым обобщённым матрицам Картана C, которые можно разложить как DS, где D — диагональная матрица с положительными целыми элементами, а S — симметричная матрица. При условии, что C симметризуема и неразложима, алгебры Каца — Муди делятся на три класса:
Положительно определённая матрица S порождает конечномерную простую алгебру Ли. Положительно полуопределённая матрица S порождает бесконечномерную алгебру Каца — Муди аффинного типа, или аффинную алгебру Ли. Неопределённая матрица S порождает алгебру Каца — Муди неопределённого типа. Поскольку диагональные элементы C и S положительны, S не может быть отрицательно определённой или отрицательно полуопределённой. Симметризуемые неразложимые обобщённые матрицы Картана конечного и аффинного типов были полностью классифицированы. Они соответствуют диаграммам Динкина и аффинным диаграммам Динкина. Мало что известно об алгебрах Каца — Муди неопределённого типа, хотя группы, соответствующие этим алгебрам Каца — Муди, были построены над произвольными полями Жаком Титом. Среди алгебр Каца — Муди неопределённого типа большинство работ было сосредоточено на алгебрах гиперболического типа, для которых матрица S неопределённа, но для каждого собственного подмножества I соответствующая подматрица является положительно определённой или положительно полуопределённой. Гиперболические алгебры Каца — Муди имеют ранг не более 10 и были полностью классифицированы. Существует бесконечно много алгебр ранга 2 и 238 алгебр рангов от 3 до 10.