Кіріспе
Рационалды коэффициенттері бар полиномиалдардың шешімі емес сандарды зерттеу. Трансценденталды сандар теориясы – сандар теориясының трансценденталды сандарды (рационалды коэффициенттері бар кез келген полиномиал теңдеуінің шешімі емес сандарды) сапалық және сандық тұрғыдан зерттейтін саласы.
Transcendental number theory is a branch of number theory that investigates transcendental numbers (numbers that are not solutions of any polynomial equation with rational coefficients), in both qualitative and quantitative ways.
Трансценденттілік
Алгебраның негізгі теоремасы бізге рационалды коэффициенттері бар (немесе, ортақ бөлімге келтіру арқылы, бүтін коэффициенттері бар) тұрақты емес полином болса, онда сол полиномның комплекс сандарда түбірі болады. Яғни, кез келген тұрақты емес, рационалды коэффициенттері бар полином үшін, комплекс сан табылады, осындай . Трансценденттік теория кері сұрақпен айналысады: берілген комплекс сан үшін, рационалды коэффициенттері бар полином бар ма, осындай ? Егер мұндай полином болмаса, онда бұл сан трансценденттік деп аталады. Көбінесе теория сандардың алгебралық тәуелсіздігін қарастырады. {α1, α2, ..., αn} сандарының жиынтығы K өрісі үстінен алгебралық тәуелсіз деп аталады, егер K коэффициенттері бар n айнымалыдағы нөлдік емес полином P болмаса, осындай P(α1, α2, ..., αn) = 0. Демек, берілген санның трансценденттік екенін анықтау – n = 1 және K өрісі рационал сандар өрісі болатын алгебралық тәуелсіздіктің ерекше жағдайы. Байланысты түсінік – санның жабық түрдегі өрнегінің болуы, соның ішінде көрсеткіштік және логарифмдік функциялар, және алгебралық амалдар. "Жабық түрдің" әртүрлі анықтамалары бар, және жабық түр туралы сұрақтарды көбінесе трансценденттік туралы сұрақтарға келтіріп қарастыруға болады.
Рационалдық сандар арқылы шамалау: Лиувилл - Рот
Трансценденталь терминін алгебралық емес объектіні білдіру үшін қолдану он жетінші ғасырға дейін барып жетеді, сол кезде Готфрид Лейбниц синус функциясы алгебралық функция емес екенін дәлелдеген. Сандардың белгілі бір кластары трансценденттік бола ала ма деген сұрақ 1748 жылы туды, осы жылы Эйлер рационалды сандар a және b үшін logab саны алгебралық емес екенін айтты, егер b, кейбір рационалды c үшін b = ac түрінде болмаса.
Euler's assertion was not proved until the twentieth century, but almost a hundred years after his claim Joseph Liouville did manage to prove the existence of numbers that are not algebraic, something that until then had not been known for sure. His original papers on the matter in the 1840s sketched out arguments using continued fractions to construct transcendental numbers. Later, in the 1850s, he gave a necessary condition for a number to be algebraic, and thus a sufficient condition for a number to be transcendental. This transcendence criterion was not strong enough to be necessary too, and indeed it fails to detect that the number e is transcendental. But his work did provide a larger class of transcendental numbers, now known as Liouville numbers in his honour. Liouville's criterion essentially said that algebraic numbers cannot be very well approximated by rational numbers. So if a number can be very well approximated by rational numbers then it must be transcendental. The exact meaning of "very well approximated" in Liouville's work relates to a certain exponent. He showed that if α is an algebraic number of degree d ≥ 2 and ε is any number greater than zero, then the expression
can be satisfied by only finitely many rational numbers p/q. Using this as a criterion for transcendence is not trivial, as one must check whether there are infinitely many solutions p/q for every d ≥ 2. In the twentieth century work by Axel Thue, Carl Siegel, and Klaus Roth reduced the exponent in Liouville's work from d + ε to d/2 + 1 + ε, and finally, in 1955, to 2 + ε. This result, known as the Thue–Siegel–Roth theorem, is ostensibly the best possible, since if the exponent 2 + ε is replaced by just 2 then the result is no longer true. However, Serge Lang conjectured an improvement of Roth's result; in particular he conjectured that q2+ε in the denominator of the right hand side could be reduced to
Roth's work effectively ended the work started by Liouville, and his theorem allowed mathematicians to prove the transcendence of many more numbers, such as the Champernowne constant. The theorem is still not strong enough to detect all transcendental numbers, though, and many famous constants including e and π either are not or are not known to be very well approximable in the above sense.
Эйлердің мәлімдемесі жиырмасыншы ғасырға дейін дәлелденбеді, бірақ оның бұл тұжырымынан шамамен жүз жыл өткен соң Джозеф Лиувилл алгебралық емес сандардың бар екенін дәлелдеді, бұл сол кезге дейін нақты белгілі болмаған еді. Ол 1840 жылдары бұл мәселе бойынша жазған алғашқы еңбектерінде трансценденттік сандарды құру үшін үздіксіз бөлшектерді қолдану арқылы аргументтер келтірді. Кейін, 1850 жылдары, ол бір санның алгебралық болуы үшін қажетті шартты, ал трансценденттік болуы үшін жеткілікті шартты берді. Бұл трансценденттік критерий қажетті шарт емес еді, және ол e санының трансценденттік екенін анықтауға да көмектеспеді. Бірақ оның жұмысы трансценденттік сандардың үлкен класын қамтамасыз етті, қазір олар оның құрметіне Лиувилл сандары деп аталады. Лиувиллдің критерийі негізінен алгебралық сандарды рационалды сандармен жақсылап жуықтау мүмкін емес екенін көрсетеді. Егер бір сан рационалды сандармен өте жақсы жуықтаса, онда ол трансценденттік болуы керек. Лиувиллдің еңбегіндегі «өте жақсы жуықтау» деген сөздің нақты мағынасы белгілі бір көрсеткішпен байланысты. Ол α - d ≥ 2 дәрежелі алгебралық сан болса және ε - нөлден үлкен кез келген сан болса, онда келесі теңдеуді тек шекті сандық рационалды сандар ғана қанағаттандыра алатынын көрсетті: p/q. Бұл критерийді трансценденттік үшін пайдалану оңай емес, өйткені әр d ≥ 2 үшін p/q шешімдерінің саны шексіз ме, әлде шекті ме, тексеру қажет. ХХ ғасырда Аксель Тью, Карл Сигель және Клаус Рот Лиувиллдің жұмысындағы көрсеткішті d + ε-ден d/2 + 1 + ε-ге дейін, ал ақырында 1955 жылы 2 + ε-ге дейін қысқартты. Бұл нәтиже, Тью-Сигель-Рот теоремасы деп аталады, мүмкіндігінше ең жақсы нәтиже болып саналады, өйткені көрсеткіш 2 + ε, жай 2-ге ауыстырылса, нәтиже дұрыс болмайды. Алайда, Серж Ланг Роттың нәтижесін жақсарту мүмкіндігін болжады; атап айтқанда, оң жақтағы бөлгіштегі q2+ε көрсеткішін азайтуға болатынын болжады. Роттың жұмысы Лиувилл бастаған жұмысты тиімді аяқтады, ал оның теоремасы математиктерге Шамперноун тұрақтысы сияқты көптеген сандардың трансценденттік екенін дәлелдеуге мүмкіндік берді. Бірақ теорема әлі де барлық трансценденттік сандарды анықтауға жеткілікті емес, және көптеген танымал тұрақтылар, соның ішінде e және π, жоғарыда айтылған мағынада өте жақсы жуықталады ма, әлде жоқ па, әлі белгілі емес.
Euler's assertion was not proved until the twentieth century, but almost a hundred years after his claim Joseph Liouville did manage to prove the existence of numbers that are not algebraic, something that until then had not been known for sure. His original papers on the matter in the 1840s sketched out arguments using continued fractions to construct transcendental numbers. Later, in the 1850s, he gave a necessary condition for a number to be algebraic, and thus a sufficient condition for a number to be transcendental. This transcendence criterion was not strong enough to be necessary too, and indeed it fails to detect that the number e is transcendental. But his work did provide a larger class of transcendental numbers, now known as Liouville numbers in his honour. Liouville's criterion essentially said that algebraic numbers cannot be very well approximated by rational numbers. So if a number can be very well approximated by rational numbers then it must be transcendental. The exact meaning of "very well approximated" in Liouville's work relates to a certain exponent. He showed that if α is an algebraic number of degree d ≥ 2 and ε is any number greater than zero, then the expression
can be satisfied by only finitely many rational numbers p/q. Using this as a criterion for transcendence is not trivial, as one must check whether there are infinitely many solutions p/q for every d ≥ 2. In the twentieth century work by Axel Thue, Carl Siegel, and Klaus Roth reduced the exponent in Liouville's work from d + ε to d/2 + 1 + ε, and finally, in 1955, to 2 + ε. This result, known as the Thue–Siegel–Roth theorem, is ostensibly the best possible, since if the exponent 2 + ε is replaced by just 2 then the result is no longer true. However, Serge Lang conjectured an improvement of Roth's result; in particular he conjectured that q2+ε in the denominator of the right hand side could be reduced to
Roth's work effectively ended the work started by Liouville, and his theorem allowed mathematicians to prove the transcendence of many more numbers, such as the Champernowne constant. The theorem is still not strong enough to detect all transcendental numbers, though, and many famous constants including e and π either are not or are not known to be very well approximable in the above sense.
Қосалқы функциялары: Hermite to Baker
Бақытымызға орай, он тоғызыншы ғасырда e-нің алгебралық қасиеттерін зерттеу және Ойлер теңдестігі арқылы π-мен байланыс орнату үшін басқа әдістер дамытылды. Бұл жұмыс «көмекші функция» деп аталатын функцияларды қолдануға негізделген. Бұл функциялар, әдетте, қарастырылып отырған нүктелерде көптеген нөлдерге ие. Мұндағы «көптеген нөлдер» – көптеген әртүрлі нөлдерді, немесе бір ғана нөлді, бірақ жоғары дәрежелі көптілікті, тіпті жоғары дәрежелі көптілігі бар көптеген нөлдерді білдіруі мүмкін. Чарльз Гермит 1873 жылы e-нің трансценденттігін дәлелдеу үшін әрбір натурал санға функцияны жуықтайтын көмекші функцияларды пайдаланды. Оның жұмысын Фердинанд фон Линдеман 1880 жылдары eα, мұнда α нөлден өзгеше алгебралық сан, трансцендентті екенін дәлелдеу үшін жалғастырды. Бұл π-нің трансцендентті екенін көрсетті, себебі eπi алгебралық сан, сонымен қатар шеңберді шаршылап салу мәселесіне бұрынғыдан түйін сызылды. Карл Вейерштрасс олардың жұмысын одан әрі дамытып, 1885 жылы Линдеманн-Вейерштрасс теоремасын дәлелдеді. 1900 жылы Давид Гильберт өзінің атақты мәселелер жинағын ұсынды. Олардың жетіншісі, Гильберттің пікірінше, ең қиын мәселелердің бірі, a және b алгебралық сандар болғанда, a нөл немесе бірге тең болмайтын және b иррационал болатын ab түріндегі сандардың трансценденттігі туралы сұрақ қойды. 1930 жылдары Александр Гельфонд және Теодор Шнайдер Сигель леммасымен қамтамасыз етілген, нақты емес көмекші функцияны қолдана отырып, барлық осындай сандардың трансцендентті екенін дәлелдеді. Бұл нәтиже, Гельфонд-Шнайдер теоремасы, eπ және Гельфонд-Шнайдер тұрақтысы сияқты сандардың трансценденттігін дәлелдеді. Бұл саладағы келесі маңызды жетістік 1960 жылдары Алан Бейкердің логарифмдердегі сызықтық формалар туралы Гельфонд қойған мәселе бойынша жұмысында болды. Гельфондтың өзі төрт белгісізі де алгебралық сандар болғанда, α-лар нөл немесе бірге тең болмайтын және β-лар иррационал сандар болғанда, сан үшін тривиальды емес төменгі шек табуға қол жеткізді. Дегенмен, Гельфонд үш немесе одан көп логарифмдердің қосындысы үшін ұқсас төменгі шектерді табуға үлкермеді. Бейкер теоремасының дәлелі осындай шектерді қамтиды, соның нәтижесінде Гаустың бірінші дәрежелі сыныптық сан мәселесі шешілді. Бұл жұмысы үшін Бейкер Диофантилік теңдеулерді шешудегі пайдасы үшін Филдс жүлдесіне ие болды. Таза трансценденттік сандар теориясы тұрғысынан, Бейкер α1, …, αn алгебралық сандар болғанда, олардың ешқайсысы нөл немесе бірге тең болмайтын және β1, …, βn алгебралық сандар болғанда, 1, β1, …, βn сандары рационал сандарға қатысты сызықтық тәуелсіз болса, онда сан трансценденттік болады деп дәлелдеді.
where all four unknowns are algebraic, the αs being neither zero nor one and the βs being irrational. Finding similar lower bounds for the sum of three or more logarithms had eluded Gelfond, though. The proof of Baker's theorem contained such bounds, solving Gauss' class number problem for class number one in the process. This work won Baker the Fields medal for its uses in solving Diophantine equations. From a purely transcendental number theoretic viewpoint, Baker had proved that if α1, , αn are algebraic numbers, none of them zero or one, and β1, , βn are algebraic numbers such that 1, β1, , βn are linearly independent over the rational numbers, then the number
is transcendental.
Басқа әдістер: Кантор және Зилбер
1870 жылдары Георг Кантор жинақтар теориясын дамыта бастады және 1874 жылы алгебралық сандарды натурал сандар жиынымен бір-бірге сәйкестікке келтіруге болатынын, демек трансценденттік сандар жиыны санаусыз екенін дәлелдейтін мақала жариялады. Кейін, 1891 жылы Кантор сол нәтижені дәлелдеу үшін өзінің әйгілі диагональдық аргументін қолданды. Кантордың нәтижесі көбінесе тек қана болмыстық екендігі және сондықтан бір трансценденттік санды құрастыру үшін қолданылмайтындығы айтылады, бірақ аталған екі мақаладағы дәлелдер трансценденттік сандарды құрастыру әдістерін ұсынады. Кантор жинақтар теориясын трансценденттік сандардың көптігін дәлелдеу үшін қолданған болса, соңғы кездегі жаңалық – модельдер теориясын трансценденттік сандар теориясындағы шешілмеген мәселені дәлелдеуге тарту. Мәселе – рационал сандарға қатысты сызықтық тәуелсіз болатын x1, …, xn кешенді сандары үшін өрістің трансценденттік дәрежесін анықтау. Стивен Шэнуэл бұл жауаптың кем дегенде n-ге тең болуы мүмкін екенін болжады, бірақ дәлелі жоқ. Бірақ 2004 жылы Борис Зилбер модельдік теориялық әдістерді пайдаланып, қосу, көбейту және көрсету амалдарымен жабдықталған кешенді сандарға өте ұқсас құрылымды құруға арналған мақала жариялады. Бұл абстрактілі құрылымда Шэнуэлдің болжамы шын мәнінде орындалады. Алайда, бұл құрылымның аталған амалдармен кешенді сандармен бірдей екені әлі белгісіз; кешенді сандарға өте ұқсас, бірақ Шэнуэлдің болжамы орындалмауы мүмкін басқа абстрактілі құрылымдар болуы мүмкін. Зилбер бұл құрылымның C екенін дәлелдейтін бірнеше критерийлерді ұсынды, бірақ күшті көрсеткіш жабылу аксиомасын дәлелдей алмады. Осы аксиоманың ең қарапайым жағдайы дәлелденді, бірақ болжамды толыққанды дәлелдеу үшін оның толық жалпылығын дәлелдеу қажет.
for complex numbers x1, , xn that are linearly independent over the rational numbers. Stephen Schanuel conjectured that the answer is at least n, but no proof is known. In 2004, though, Boris Zilber published a paper that used model theoretic techniques to create a structure that behaves very much like the complex numbers equipped with the operations of addition, multiplication, and exponentiation. Moreover, in this abstract structure Schanuel's conjecture does indeed hold. Unfortunately it is not yet known that this structure is in fact the same as the complex numbers with the operations mentioned; there could exist some other abstract structure that behaves very similarly to the complex numbers but where Schanuel's conjecture doesn't hold. Zilber did provide several criteria that would prove the structure in question was C, but could not prove the so called Strong Exponential Closure axiom. The simplest case of this axiom has since been proved, but a proof that it holds in full generality is required to complete the proof of the conjecture.
Негізгі нәтижелер
Гелфонд-Шнайдер теоремасы 1900–1950 жылдар аралығында трансценденттік теориядағы маңызды қадам болды. 1960-шы жылдары Алан Бейкердің алгебралық сандардың логарифмдеріндегі сызықтық формалар туралы әдісі трансценденттік теорияны жаңартты, осы әдіс көптеген классикалық мәселелер мен диофант теңдеулерін шешуге мүмкіндік берді.
Малер жіктеуіші
Курт Малер 1932 жылы трансценденттік сандарды S, T және U деп аталатын 3 классқа бөлді. Осы класс анықтамалары Лиувилль санының идеясын кеңейту арқылы жасалған (жоғарыда айтылғандай).
Түрі
{ω(x, n)} тізбегінің жоғарғы шегі тип деп аталады. Нақты сандардың көп бөлігі 1 типті S сандары болып табылады, бұл нақты S сандары үшін минималды шама. Күрделі сандардың көп бөлігі 1/2 типті S сандары болып табылады, бұл да минималды шама. Дерлік барлық сандар туралы болжамды Малер айтқан, ал 1965 жылы Владимир Спринджук оны дәлелдеген.
Ашық мәселелер
Гелфонд-Шнайдер теоремасы сандардың үлкен класының трансценденттік екенін дәлелдесе де, бұл класс әлі де санауға болатын болды. Көптеген белгілі математикалық тұрақтылардың трансценденттік екендігі әлі күнге дейін белгісіз, ал кейбір жағдайларда олардың рационалды немесе иррационалды екендігі де белгісіз. Бұл тізімді ішінара мына жерден табуға болады. Трансценденттік теориядағы маңызды мәселе – жеке элементтердің трансценденттік екенін көрсетуден гөрі, сандардың белгілі бір жиынтығының алгебралық тәуелсіз екенін көрсету. Демек, e және π трансценденттік екенін білсек те, бұл e + π трансценденттік екенін білдірмейді, сондай-ақ екеуінің басқа комбинациялары да (eπ, Gelfond тұрақтысынан басқа, ол трансценденттік екені белгілі). Тағы бір маңызды мәселе – экспоненциалдық функциямен байланысты емес сандармен жұмыс істеу. Трансценденттік теориядағы негізгі нәтижелер e және логарифм функциясы төңірегінде жиі айналады, яғни элементарлы түрде осы екі нысан арқылы өрнектеуге болмайтын сандармен жұмыс істеу үшін жаңа әдістер қажет. Шануэлдің болжамы алгебралық тәуелсіздік мәселесін шешуге көмектеседі және e + π трансценденттік екенін растайды. Алайда, ол әлі де экспоненциалдық функцияға байланысты болғандықтан, Апери тұрақтысы немесе Эйлер-Машерони тұрақтысы сияқты сандармен міндетті түрде айналыспайды. Тағы бір өте қиын, әлі шешілмеген мәселе – тұрақты немесе сәйкестік мәселесі.