Введение

Исследование чисел, не являющихся корнями полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

Трансцендентальная теория чисел — это раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа (числа, которые не являются решениями ни одного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами) как с качественной, так и с количественной точки зрения.

Превыше всего

Фундаментальная теорема алгебры утверждает, что если у нас есть непостоянный многочлен с рациональными коэффициентами (или, эквивалентно, путем приведения к целым коэффициентам), то этот многочлен будет иметь корень в комплексных числах. То есть, для любого непостоянного многочлена с рациональными коэффициентами существует комплексное число такое, что . Теория трансцендентности рассматривает обратный вопрос: если дано комплексное число , существует ли многочлен с рациональными коэффициентами, такой что ? Если такого многочлена не существует, то число называется трансцендентным. В более общем виде теория изучает алгебраическую независимость чисел. Множество чисел {α1, α2, ..., αn} называется алгебраически независимым над полем K, если не существует ненулевого многочлена P от n переменных с коэффициентами в K, такого что P(α1, α2, ..., αn) = 0. Таким образом, определение того, является ли данное число трансцендентным, является частным случаем алгебраической независимости, где n = 1 и поле K – поле рациональных чисел. Связанным понятием является наличие формулы для числа, включающей экспоненты и логарифмы, а также алгебраические операции. Существуют различные определения "формулы", и вопросы о формулах часто можно свести к вопросам о трансцендентности.

Приближение рациональными числами: Лиувилль к Рот

Использование термина «трансцендентный» для обозначения объекта, не являющегося алгебраическим, восходит к XVII веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что функция синуса не является алгебраической функцией. Вопрос о том, могут ли определенные классы чисел быть трансцендентными, возник в 1748 году, когда Эйлер утверждал, что число logab не является алгебраическим для рациональных чисел a и b, при условии, что b не имеет вида b = ac для некоторого рационального c.

Утверждение Эйлера было доказано лишь в XX веке, но почти через сто лет после его выдвижения Джозефу Лиувиллю удалось доказать существование чисел, не являющихся алгебраическими, что до тех пор не было известно наверняка. Его оригинальные работы по этому вопросу в 1840-х годах содержали аргументы, использующие цепные дроби для построения трансцендентных чисел. Позже, в 1850-х годах, он дал необходимое условие для того, чтобы число было алгебраическим, и, следовательно, достаточное условие для того, чтобы число было трансцендентным. Этот критерий трансцендентности был недостаточно сильным, чтобы быть также необходимым, и, действительно, он не позволяет установить трансцендентность числа e. Однако его работа предоставила более широкий класс трансцендентных чисел, ныне известных как числа Лиувиля в его честь. Критерий Лиувиля по сути утверждает, что алгебраические числа не могут быть очень хорошо аппроксимированы рациональными числами. Таким образом, если число может быть очень хорошо аппроксимировано рациональными числами, то оно должно быть трансцендентным. Точное значение «очень хорошо аппроксимировано» в работе Лиувиля связано с определенным показателем степени. Он показал, что если α — алгебраическое число степени d ≥ 2 и ε — любое число, большее нуля, то выражение

может быть удовлетворено лишь конечным числом рациональных чисел p/q. Использование этого в качестве критерия трансцендентности нетривиально, поскольку необходимо проверить, существует ли бесконечно много решений p/q для каждого d ≥ 2. В XX веке работы Акселя Туэ, Карла Зигеля и Клауса Рота уменьшили показатель степени в работе Лиувиля с d + ε до d/2 + 1 + ε, и, наконец, в 1955 году — до 2 + ε. Этот результат, известный как теорема Тью — Зигеля — Рота, по-видимому, является наилучшим возможным, поскольку если показатель степени 2 + ε заменить просто на 2, то результат перестает быть верным. Однако Серж Ланг предположил улучшение результата Рота; в частности, он предположил, что q2+ε в знаменателе правой части можно уменьшить до работы Рота, эффективно завершив работу, начатую Лиувилем, и его теорема позволила математикам доказать трансцендентность многих других чисел, таких как постоянная Шамперноуна. Тем не менее, теорема все еще недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа, и многие известные константы, включая e и π, либо не являются, либо не известно, что они очень хорошо аппроксимируются в вышеуказанном смысле.

Вспомогательные функции: от гермита к пеку

К счастью, в девятнадцатом веке были разработаны другие методы для работы с алгебраическими свойствами числа *e*, и, следовательно, числа *π* через тождество Эйлера. Эта работа была сосредоточена на использовании так называемых вспомогательных функций. Это функции, которые обычно имеют множество нулей в рассматриваемых точках. Здесь "множество нулей" может означать множество различных нулей, или всего один нуль, но с высокой кратностью, или даже множество нулей, все с высокой кратностью. Шарль Эрмит использовал вспомогательные функции, которые аппроксимировали функции для каждого натурального числа, чтобы доказать трансцендентность числа *e* в 1873 году. Его работа была развита Фердинандом фон Линдеманном в 1880-х годах, чтобы доказать, что *e*<sup>α</sup> трансцендентно для ненулевых алгебраических чисел α. В частности, это доказало, что *π* трансцендентно, поскольку *e*<sup>πi</sup> алгебраично, и таким образом отрицательно ответило на старинную задачу о возможности квадратуры круга. Карл Вейерштрасс продолжил их работу и в конечном итоге доказал теорему Линдемана — Вейерштрасса в 1885 году. В 1900 году Давид Гильберт сформулировал свой знаменитый список проблем. Седьмая из них, и одна из самых сложных по оценке Гильберта, касалась трансцендентности чисел вида *a*<sup>*b*</sup>, где *a* и *b* алгебраичны, *a* не равно нулю или единице, а *b* иррационально. В 1930-х годах Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер доказали, что все такие числа действительно трансцендентны, используя неявную вспомогательную функцию, существование которой гарантировалось леммой Зигеля. Этот результат, теорема Гельфонда — Шнайдера, доказал трансцендентность чисел, таких как *e*<sup>π</sup> и константа Гельфонда — Шнайдера. Следующий важный результат в этой области был получен в 1960-х годах, когда Алан Бейкер добился прогресса в решении задачи, поставленной Гельфондом, о линейных формах в логарифмах. Гельфонду самому удалось найти нетривиальную нижнюю границу для величины

где все четыре неизвестных алгебраичны, α не равны нулю или единице, а β иррациональны. Однако Гельфонду не удалось найти аналогичные нижние границы для суммы трех или более логарифмов. Доказательство теоремы Бейкера содержало такие границы, попутно решив задачу о классном числе Гаусса для чисел с классным числом один. Эта работа принесла Бейкеру Филдсовскую премию за её применение в решении диофантовых уравнений. С чисто трансцендентно-теоретической точки зрения, Бейкер доказал, что если α<sub>1</sub>, ..., α<sub>n</sub> — алгебраические числа, ни одно из которых не равно нулю или единице, а β<sub>1</sub>, ..., β<sub>n</sub> — алгебраические числа, такие, что 1, β<sub>1</sub>, ..., β<sub>n</sub> линейно независимы над рациональными числами, то число

трансцендентно.

Другие методы: Кантор и Зильбер

В 1870-х годах Георг Кантор начал развивать теорию множеств и в 1874 году опубликовал статью, доказывающую, что алгебраические числа можно установить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, и, следовательно, множество трансцендентных чисел должно быть несчётным. Позже, в 1891 году, Кантор использовал свой более известный диагональный аргумент для доказательства того же результата. Хотя результат Кантора часто приводится как чисто экзистенциальный и, следовательно, непригодный для построения конкретного трансцендентного числа, доказательства в обеих упомянутых работах предоставляют методы для построения трансцендентных чисел. В то время как Кантор использовал теорию множеств для доказательства изобилия трансцендентных чисел, недавним достижением стало применение теории моделей в попытках решить нерешённую проблему в теории трансцендентных чисел. Проблема заключается в определении степени трансцендентности поля для комплексных чисел x1, …, xn, линейно независимых над рациональными числами. Стивен Шэнуэль предположил, что ответ не меньше n, но доказательства пока неизвестны. Однако в 2004 году Борис Зилбер опубликовал статью, в которой использовал методы теории моделей для создания структуры, поведение которой очень напоминает комплексные числа, снабжённые операциями сложения, умножения и возведения в степень. Более того, в этой абстрактной структуре предположение Шэнуэля действительно выполняется. К сожалению, пока не установлено, что эта структура действительно совпадает с комплексными числами с указанными операциями; может существовать другая абстрактная структура, которая ведёт себя очень похоже на комплексные числа, но где предположение Шэнуэля неверно. Зилбер предложил несколько критериев, которые бы доказали, что рассматриваемая структура является C, но не смог доказать так называемую аксиому сильного экспоненциального замыкания. Простейший случай этой аксиомы был впоследствии доказан, но для завершения доказательства гипотезы требуется доказательство её справедливости в общем случае.

Основные результаты

Теорема Гельфонда — Шнайдера стала крупным прорывом в теории трансцендентности в период с 1900 по 1950 год. В 1960-х годах метод Алана Бейкера, основанный на линейных формах в логарифмах алгебраических чисел, возродил теорию трансцендентности, найдя применение в решении множества классических задач и диофантовых уравнений.

Классификация Малера

Курт Малер в 1932 году разделил трансцендентные числа на 3 класса, названные S, T и U. Определение этих классов основано на расширении идеи числа Лиувиля (упомянутого выше).

Тип

Верхний предел последовательности {ω(x, n)} называется типом. Почти все действительные числа являются S-числами типа 1, который является минимальным для действительных S-чисел. Почти все комплексные числа являются S-числами типа 1/2, который также является минимальным. Предположение о почти всех числах было выдвинуто Малером и в 1965 году доказано Владимиром Спринджуком.

Открытые проблемы

В то время как теорема Гельфонда — Шнайдера доказала, что большой класс чисел трансцендентен, этот класс все равно счетен. Многие известные математические константы до сих пор не доказаны как трансцендентные, и в некоторых случаях даже неизвестно, являются ли они рациональными или иррациональными. Частичный список можно найти здесь. Основная проблема в теории трансцендентности заключается в доказательстве алгебраической независимости конкретного множества чисел, а не только трансцендентности отдельных его элементов. Таким образом, хотя мы знаем, что *e* и π трансцендентны, это не подразумевает, что *e* + π трансцендентно, равно как и другие комбинации этих двух чисел (за исключением *e*π, постоянной Гельфонда, которая, как известно, трансцендентна). Другая важная проблема — работа с числами, не связанными с экспоненциальной функцией. Основные результаты в теории трансцендентности обычно связаны с *e* и логарифмической функцией, что означает, что для работы с числами, которые нельзя выразить через эти два объекта элементарным способом, требуются принципиально новые методы. Гипотеза Шануэля частично решила бы первую из этих проблем, поскольку она касается алгебраической независимости и, следовательно, подтвердила бы трансцендентность *e* + π. Однако она по-прежнему вращается вокруг экспоненциальной функции и, следовательно, не обязательно применима к таким числам, как постоянная Апери или постоянная Эйлера — Машерони. Еще одна чрезвычайно сложная нерешенная проблема — так называемая проблема констант или проблема тождества.