Кіріспе
Математикада, жаһандық өріс k үстінде анықталған жартылай қарапайым алгебралық топтың Тамагава саны – k-ның адель сақинасы бойынша өлшем болып табылады. Тамагава сандары алғаш рет енгізілді, және оның құрметіне аталды. Цунео Тамагаваның байқауы бойынша, G-де k үстінде анықталған инвариантты дифференциалдық форма ω-дан бастап, қолданылған өлшем жақсы анықталған: ω, cω-мен алмастырылса да, мұнда c – нөлдік емес элемент, k-дағы бағалаулар үшін көбейтінді формуласы, әр тиімді факторда ω-дан құрылған көбейтінді өлшем үшін бөлінген шаманың c-ден тәуелсіздігімен көрінеді. Жартылай қарапайым топтар үшін Тамагава сандарын есептеуде классикалық квадраттық формалар теориясының маңызды бөліктері бар.
Tsuneo Tamagawa's observation was that, starting from an invariant differential form ω on G, defined over k, the measure involved was well defined: while ω could be replaced by cω with c a non zero element of , the product formula for valuations in k is reflected by the independence from c of the measure of the quotient, for the product measure constructed from ω on each effective factor. The computation of Tamagawa numbers for semisimple groups contains important parts of classical quadratic form theory.
Анықтама
k – ғаламдық өріс, A – оның адельдер сақинасы, G – k өрісінде анықталған жартылай қарапайым алгебралық топ. k-ның kv толықтауларындағы Haar өлшемдерін таңдаңыз, осындай етіп, барлық v орындарында Ov-ның көлемі 1-ге тең болсын, тек шектеулі саны ғана осы шарттан тыс болсын. Бұл өлшемдер A-да Haar өлшемін тудырады, және біз осы өлшемді A/k-нің индукцияланған бөлік өлшеміне қатысты көлемі 1-ге тең болатындай нормалаймыз. Аделикалық алгебралық топ G(A)-дағы Тамагава өлшемі келесідей анықталады. G(k)-дағы ω солдан инвариантты n-форманы қарастырайық, мұнда n – G тобының өлшемі. Бұл, жоғарыда таңдалған kv-дегі Haar өлшемдерімен бірге, v-нің барлық орындары үшін G(kv)-де Haar өлшемін тудырады. G жартылай қарапайым болғандықтан, осы өлшемдердің көбейтіндісі G(A)-да Haar өлшемін береді, оны Тамагава өлшемі деп атаймыз. Тамагава өлшемі ω таңдауына және kv-дегі өлшемдер таңдауына тәуелді емес, себебі ω-ны k* элементіне көбейту G(A)-дағы Haar өлшемін 1-ге көбейтеді, бұл бағалаулар үшін өнім формуласын қолдану арқылы қамтамасыз етіледі. Тамагава саны τ(G) – G(A)/G(k)-ның Тамагава өлшемі ретінде анықталады.
Choose Haar measures on the completions kv of k such that Ov has volume 1 for all but finitely many places v. These then induce a Haar measure on A, which we further assume is normalized so that A/k has volume 1 with respect to the induced quotient measure. The Tamagawa measure on the adelic algebraic group G(A) is now defined as follows. Take a left invariant n form ω on G(k) defined over k, where n is the dimension of G. This, together with the above choices of Haar measure on the kv, induces Haar measures on G(kv) for all places of v. As G is semisimple, the product of these measures yields a Haar measure on G(A), called the Tamagawa measure. The Tamagawa measure does not depend on the choice of ω, nor on the choice of measures on the kv, because multiplying ω by an element of k* multiplies the Haar measure on G(A) by 1, using the product formula for valuations. The Tamagawa number τ(G) is defined to be the Tamagawa measure of G(A)/G(k).
Тамагава сандары бойынша Вейл болжамы
Вейлдің Тамагава сандары туралы болжамы, сандар өрісінде анықталған, қарапайым алгебралық топтың (яғни, тиісті алгебралық жабыны жоқ) Тамагава саны τ(G) 1-ге тең деп айтады. Ол классикалық топтардың көптеген жағдайларында Тамагава санын есептеп, оның қарастырылған барлық жағдайларда бүтін сан екенін және топ жай ғана байланысқан жағдайларда 1-ге тең екенін байқады. Тамагава сандары бүтін сандар емес мысалдар табылды, бірақ жай ғана байланысқан топтардың Тамагава саны туралы болжам бірнеше жұмыстардың нәтижесінде, соңғысы – еңбегінде, жалпы жағдайда дәлелденді. Ал шекті өрістердегі функциялар өрісі бойынша аналогы – тарапынан дәлелденді.