Введение
В математике число Тамагавы полупростой алгебраической группы, определенной над глобальным полем k, является мерой , где — кольцо аделей k. Числа Тамагавы были введены , а названы в его честь. Наблюдение Цунео Тамагавы заключалось в том, что, начиная с инвариантной дифференциальной формы ω на G, определенной над k, соответствующая мера была хорошо определена: хотя ω можно заменить на cω, где c — ненулевой элемент , формула произведения для валораций в k отражается в независимости меры частного от c, для произведения мер, построенных из ω на каждом эффективном факторе. Вычисление чисел Тамагавы для полупростых групп включает важные части классической теории квадратичных форм.
Tsuneo Tamagawa's observation was that, starting from an invariant differential form ω on G, defined over k, the measure involved was well defined: while ω could be replaced by cω with c a non zero element of , the product formula for valuations in k is reflected by the independence from c of the measure of the quotient, for the product measure constructed from ω on each effective factor. The computation of Tamagawa numbers for semisimple groups contains important parts of classical quadratic form theory.
Определение
Пусть k – глобальное поле, A – его кольцо аделей, а G – полупростая алгебраическая группа, определенная над k. Выберем меры Гаара на завершениях kv поля k таким образом, чтобы Ov имело объем 1 для всех, кроме конечного числа мест v. Эти меры индуцируют меру Гаара на A, которая, как мы далее предполагаем, нормализована так, что A/k имеет объем 1 относительно индуцированной фактор-меры. Мера Тамагавы на аделической алгебраической группе G(A) определяется следующим образом. Возьмем левоинвариантную n-форму ω на G(k), определенную над k, где n – размерность G. Эта форма, вместе с вышеуказанным выбором мер Гаара на kv, индуцирует меры Гаара на G(kv) для всех мест v. Поскольку G полупроста, произведение этих мер дает меру Гаара на G(A), называемую мерой Тамагавы. Мера Тамагавы не зависит от выбора ω и от выбора мер на kv, потому что умножение ω на элемент k* умножает меру Гаара на G(A) на 1, используя формулу произведения для валораций. Число Тамагавы τ(G) определяется как мера Тамагавы G(A)/G(k).
Choose Haar measures on the completions kv of k such that Ov has volume 1 for all but finitely many places v. These then induce a Haar measure on A, which we further assume is normalized so that A/k has volume 1 with respect to the induced quotient measure. The Tamagawa measure on the adelic algebraic group G(A) is now defined as follows. Take a left invariant n form ω on G(k) defined over k, where n is the dimension of G. This, together with the above choices of Haar measure on the kv, induces Haar measures on G(kv) for all places of v. As G is semisimple, the product of these measures yields a Haar measure on G(A), called the Tamagawa measure. The Tamagawa measure does not depend on the choice of ω, nor on the choice of measures on the kv, because multiplying ω by an element of k* multiplies the Haar measure on G(A) by 1, using the product formula for valuations. The Tamagawa number τ(G) is defined to be the Tamagawa measure of G(A)/G(k).
Предположение Вейла о числах Тамагавы
Предположение Вейля о числах Тамагавы утверждает, что число Тамагавы τ(G) простосвязной (т.е. не имеющей непривычного алгебраического покрытия) простой алгебраической группы, определенной над числовым полем, равно 1. Вычислил число Тамагавы во многих случаях классических групп и заметил, что оно является целым числом во всех рассмотренных случаях и равно 1, когда группа простосвязна. Были найдены примеры, где числа Тамагавы не являются целыми числами, но предположение о числе Тамагавы простосвязных групп было в целом доказано несколькими работами, кульминацией которых стала статья и для аналога над полями функций над конечными полями .