Кіріспе
Көптамалық карталардың керіленуі (математика)
Математикада Якобтың болжамы – бірнеше айнымалыдағы көптамаларға қатысты шешілмеген әйгілі мәселе. Ол егер n өлшемді кеңістіктен өзіне дейінгі көптамалық функцияның Якоб детерминанты нөлдік емес тұрақты сан болса, онда функцияның көптамалық кері функциясы болады деп тұжырымдайды. Бұл болжамды алғаш рет 1939 жылы Отт Генрих Келлер ұсынған, ал Шрирам Абхянкар оны кеңінен танымал етті. Бұл алгебралық геометриядағы қиын мәселенің мысалы, оны есептеу білімінен басқа аз ғана біліммен түсінуге болады. Якобтың болжамы көптеген дәлелдеу әрекеттерінің нәтижесінде құрылған, бірақ олардың ішінде елеусіз қателер кездесті. 2018 жылғы мәліметтер бойынша, оны дәлелдегеніне сенімді дәлелдер жоқ. Тіпті екі айнымалы жағдайы да барлық күш-жігерге тойтарыс берді. Қазіргі уақытта болжамның дұрыс екеніне сенуге нақты себептер жоқ, ал ван ден Эссеннің сөзіне сәйкес, көптеген айнымалылар үшін болжамның жалған болуына күдік бар (әрине, осы күдіктерді растайтын нақты дәлелдер де жоқ). Якобтың болжамы Стивен Смелдің 1998 жылғы «Келесі ғасырдың математикалық проблемалары» тізімінде 16-шы орынды иеленеді.
Нәтижелер
Стюарт Суй Шенг Ван 2-дәрежелі көпмүшелер үшін Якобтың болжамын дәлелдеді. Хайман Басс, Эдвин Коннелл және Дэвид Райт жалпы жағдайдың полиномиалдар 3-дәрежелі, немесе тіпті нақтырақ, кубикалық гомогенді типте, яғни F = (X1 + H1, , Xn + Hn) түрінде болатын арнайы жағдайдан туындайтындығын көрсетті, мұнда әр Hi нөл немесе гомогенді кубикалық. Людвик Дружковский картаның текше сызықтық типте екенін, яғни нөлге жатпайтын Hi - гомогенді сызықтық полиномиалдардың текшелері деп болжауға болатынын көрсетті. Дружковскийдің жұмысынан алынған қысқарту болашаққа бағдар беретін жол сияқты көрінеді. Бұл қысқартулар қосымша айнымалыларды енгізеді, сондықтан олар тұрақты N үшін қолжетімді емес. Эдвин Коннелл мен Лу ван ден Дриз егер Якобтың болжамы жалған болса, онда оның бүтін сан коэффициенттері мен Якобтың детерминанты 1 бар қарсы мысалы бар екенін дәлелдеді. Салдарынан, Якобтың болжамы 0 сипаттамасының барлық өрістері үшін немесе ешқайсысы үшін дұрыс. Н тұрақты өлшем үшін, ол кем дегенде бір алгебралық жабық 0 сипаттамалы өріс үшін дұрыс болса, дұрыс болады. k[X] - k[X1, , Xn] полиномиялық сақинасын, ал k[F] - f1, , fn-мен құрылған k субальгебрасын білдірсін. Берілген F үшін Якобиандық болжам егер және тек қана егер Келлер (1939) бирационалды жағдайды дәлелдесе, яғни k(X) және k(F) екі өрісі тең болса, дұрыс болады. k(X) k(F) галоистік кеңейтуі болып табылатын жағдайды күрделі карталар үшін Эндрю Кэмпбелл және жалпы Майкл Разар және тәуелсіз түрде Дэвид Райт дәлелдеді. Цзюонг Цзиенг Мох екі айнымалыда 100 дәрежелі көпмүшелер үшін болжамды тексерді. Михель де Бондт пен Арно ван ден Эссен және Людвик Дружковский Якобтың болжамын симметриялық Якоб матрицасы бар кубтық гомогенді типтегі күрделі карталар үшін дәлелдеу жеткілікті екенін және одан әрі Якобтың симметриялық матрицасы бар кубтық сызықтық типтегі карталар үшін кез-келген сипаттамалық 0 өрісі бойынша болжам дұрыс екенін көрсетті. Якобтың күшті нақты болжамы - жоқтығы жоқ Якобтың анықтауы бар нақты полиномиялық картаның тегіс жаһандық керісі бар. Бұл картаның топологиялық тұрғыдан дұрыс карта екендігін сұрауға тең, бұл жағдайда ол жай ғана байланысқан көптүрліліктің жапқышы болып табылады, сондықтан кері айналатын. Сергей Пинчук жалпы дәрежесі 35 және одан жоғары екі айнымалы қарсы мысал жасады. Диксмиер болжамы Якобтың болжамын білдіреді деп жақсы белгілі. Алексей Белов Канель мен Максим Концевич тәуелсіз түрде 2N айнымалылар үшін Якобиандық болжам N өлшемдегі Диксмиерлік болжамды білдіреді екенін көрсетті. Соңғы тұжырымның өзіндік және таза алгебралық дәлелін Коссиви Аджамагбо мен Арно ван ден Эссен де берді, олар да осы екі болжамның Пуассонның болжамына тең екенін сол қағаздарда дәлелдеді.
Edwin Connell and Lou van den Dries proved that if the Jacobian conjecture is false, then it has a counterexample with integer coefficients and Jacobian determinant 1. In consequence, the Jacobian conjecture is true either for all fields of characteristic 0 or for none. For fixed dimension N, it is true if it holds for at least one algebraically closed field of characteristic 0. Let k[X] denote the polynomial ring k[X1, , Xn] and k[F] denote the k subalgebra generated by f1, , fn. For a given F, the Jacobian conjecture is true if, and only if, Keller (1939) proved the birational case, that is, where the two fields k(X) and k(F) are equal. The case where k(X) is a Galois extension of k(F) was proved by Andrew Campbell for complex maps and in general by Michael Razar and, independently, by David Wright. Tzuong Tsieng Moh checked the conjecture for polynomials of degree at most 100 in two variables. Michiel de Bondt and Arno van den Essen and Ludwik Drużkowski independently showed that it is enough to prove the Jacobian Conjecture for complex maps of cubic homogeneous type with a symmetric Jacobian matrix, and further showed that the conjecture holds for maps of cubic linear type with a symmetric Jacobian matrix, over any field of characteristic 0. The strong real Jacobian conjecture was that a real polynomial map with a nowhere vanishing Jacobian determinant has a smooth global inverse. That is equivalent to asking whether such a map is topologically a proper map, in which case it is a covering map of a simply connected manifold, hence invertible. Sergey Pinchuk constructed two variable counterexamples of total degree 35 and higher. It is well known that the Dixmier conjecture implies the Jacobian conjecture. and independently by Alexei Belov Kanel and Maxim Kontsevich that the Jacobian conjecture for 2N variables implies the Dixmier conjecture in N dimensions. A self contained and purely algebraic proof of the last implication is also given by Kossivi Adjamagbo and Arno van den Essen who also proved in the same paper that these two conjectures are equivalent to the Poisson conjecture.