Введение
О прообратимости полиномиальных отображений (математика)
В математике, Якобианская гипотеза – известная нерешенная проблема, касающаяся многочленов от нескольких переменных. Она утверждает, что если полиномиальная функция из n-мерного пространства в себя имеет якобианский детерминант, являющийся ненулевой константой, то функция имеет полиномиальный обратный вид. Впервые гипотеза была сформулирована в 1939 году Оттом Генрихом Келлером и широко популяризирована Шреэрамом Абхьянкаром как пример сложного вопроса в алгебраической геометрии, который можно понять, обладая лишь базовыми знаниями математического анализа. Якобианская гипотеза печально известна большим количеством предпринятых попыток доказательства, которые в итоге оказались содержащими тонкие ошибки. По состоянию на 2018 год не существует убедительных утверждений о доказательстве гипотезы. Даже случай двух переменных не поддаётся решению. В настоящее время нет веских оснований полагать, что гипотеза верна, и, по мнению ван ден Эссена, существуют подозрения, что гипотеза на самом деле ложна для большого числа переменных (впрочем, также нет убедительных доказательств в поддержку этих подозрений). Якобианская гипотеза занимает 16-е место в списке математических проблем следующего столетия, опубликованном Стивеном Смалем в 1998 году.
Результаты
Стюарт Суй Шенг Ван доказал якобианскую гипотезу для многочленов степени 2. Хайман Басс, Эдвин Коннелл и Дэвид Райт показали, что общий случай следует из частного случая, когда многочлены имеют степень 3, или даже более конкретно, кубический однородный тип, то есть форму F = (X1 + H1, …, Xn + Hn), где каждый Hi либо равен нулю, либо является однородным кубическим многочленом. Людвик Дружковский показал, что можно дополнительно предположить, что отображение имеет кубический линейный тип, то есть ненулевые Hi являются кубами однородных линейных многочленов. Кажется, что приведение Дружковского – один из наиболее перспективных путей дальнейшего исследования. Эдвин Коннелл и Лу ван ден Дриз доказали, что если якобианская гипотеза ложна, то существует контрпример с целочисленными коэффициентами и якобиановым определителем, равным 1. Следовательно, якобианская гипотеза верна либо для всех полей характеристики 0, либо ни для одного. Для фиксированной размерности N она верна, если она выполняется хотя бы для одного алгебраически замкнутого поля характеристики 0. Пусть k[X] обозначает кольцо многочленов k[X1, …, Xn], а k[F] – k-субальгебру, порожденную f1, …, fn. Для заданного F якобианская гипотеза верна тогда и только тогда, когда Келлер (1939) доказал бирациональный случай, то есть когда два поля k(X) и k(F) равны. Случай, когда k(X) является расширением Галуа поля k(F), был доказан Эндрю Кэмпбеллом для комплексных отображений, а в общем случае – Майклом Разаром и независимо Дэвидом Райтом. Цзюонг Цзиенг Мо проверил гипотезу для многочленов степени не выше 100 в двух переменных. Михель де Бондт, Арно ван ден Эссен и Людвик Дружковский независимо друг от друга показали, что достаточно доказать якобианскую гипотезу для комплексных отображений кубического однородного типа с симметричной якобианской матрицей, и далее показали, что гипотеза верна для отображений кубического линейного типа с симметричной якобианской матрицей над любым полем характеристики 0. Сильная вещественная якобианская гипотеза утверждала, что вещественное полиномиальное отображение с нигде не обращающимся в нуль якобиановым определителем имеет гладкое глобальное обратное. Это эквивалентно вопросу о том, является ли такое отображение топологически правильным, в этом случае оно является покрывающим отображением простосвязного многообразия и, следовательно, обратимым. Сергей Пинчук построил контрпримеры для двух переменных общей степени 35 и выше. Хорошо известно, что гипотеза Диксье влечет за собой якобианскую гипотезу, и независимо Алексеем Беловым Канелем и Максимом Концевичем, что якобианская гипотеза для 2N переменных влечет за собой гипотезу Диксье в N измерениях. Самостоятельное и чисто алгебраическое доказательство последнего следствия также дано Коссиви Аджамагбо и Арно ван ден Эссеном, которые в той же статье доказали, что эти две гипотезы эквивалентны гипотезе Пуассона.
Edwin Connell and Lou van den Dries proved that if the Jacobian conjecture is false, then it has a counterexample with integer coefficients and Jacobian determinant 1. In consequence, the Jacobian conjecture is true either for all fields of characteristic 0 or for none. For fixed dimension N, it is true if it holds for at least one algebraically closed field of characteristic 0. Let k[X] denote the polynomial ring k[X1, , Xn] and k[F] denote the k subalgebra generated by f1, , fn. For a given F, the Jacobian conjecture is true if, and only if, Keller (1939) proved the birational case, that is, where the two fields k(X) and k(F) are equal. The case where k(X) is a Galois extension of k(F) was proved by Andrew Campbell for complex maps and in general by Michael Razar and, independently, by David Wright. Tzuong Tsieng Moh checked the conjecture for polynomials of degree at most 100 in two variables. Michiel de Bondt and Arno van den Essen and Ludwik Drużkowski independently showed that it is enough to prove the Jacobian Conjecture for complex maps of cubic homogeneous type with a symmetric Jacobian matrix, and further showed that the conjecture holds for maps of cubic linear type with a symmetric Jacobian matrix, over any field of characteristic 0. The strong real Jacobian conjecture was that a real polynomial map with a nowhere vanishing Jacobian determinant has a smooth global inverse. That is equivalent to asking whether such a map is topologically a proper map, in which case it is a covering map of a simply connected manifold, hence invertible. Sergey Pinchuk constructed two variable counterexamples of total degree 35 and higher. It is well known that the Dixmier conjecture implies the Jacobian conjecture. and independently by Alexei Belov Kanel and Maxim Kontsevich that the Jacobian conjecture for 2N variables implies the Dixmier conjecture in N dimensions. A self contained and purely algebraic proof of the last implication is also given by Kossivi Adjamagbo and Arno van den Essen who also proved in the same paper that these two conjectures are equivalent to the Poisson conjecture.