Кіріспе
Күрделі сандар коэффициенттері бар кватерниондар
Абстракт алгебрада бикватерниондар w + x 'i' + y 'j' + z 'k' түріндегі сандар болып табылады, мұнда w, x, y және z күрделі сандар немесе олардың түрі, ал элементтер кватернион тобындағыдай көбейтіледі және олардың коэффициенттерімен коммутациялайды. Комплексті сандарға және олардың өзгерулеріне сәйкес бикватерниондардың үш түрі бар: Коэффициенттері күрделі сандар болғандағы бикватерниондар. Коэффициенттері бөлінген күрделі сандар болғандағы бөлінген бикватерниондар. Коэффициенттері дуалды сандар болғандағы дуалды кватерниондар. Бұл мақала Уильям Роуэн Гамильтонның 1844 жылы атаған қалыпты бикватерниондар туралы. Бұл бикватерниондардың белгілі жақтаушылары Александр Макфарлейн, Артур В. Конвей, Людвик Сильберштейн және Корнелиус Ланчос болды. Төменде көрсетілгендей, бикватерниондардың бірлік квази сферасы Лоренц тобының бейнесін береді, ол арнайы салыстырмалылық теориясының негізі болып табылады. Бикватерниондар алгебрасын 'C' ⊗ 'R' 'H' тензорлық көбейтіндісі ретінде қарастыруға болады, мұнда 'C' – күрделі сандар өрісі, ал 'H' – (нақты) кватерниондардың бөлу алгебрасы. Басқаша айтқанда, бикватерниондар – кватерниондардың күрделіленген түрі. Күрделі алгебра ретінде қарастырылғанда, бикватерниондар 2 × 2 күрделі матрицалар M2('C') алгебрасына изоморфты. Олар сондай-ақ бірнеше Клиффорд алгебраларына изоморфты, соның ішінде Паули алгебрасы Cl3,0('R') және кеңістік-уақыт алгебрасының жұп бөлігі.
In abstract algebra, the biquaternions are the numbers w + x 'i' + y 'j' + z 'k', where w, x, y, and z are complex numbers, or variants thereof, and the elements of multiply as in the quaternion group and commute with their coefficients. There are three types of biquaternions corresponding to complex numbers and the variations thereof:
Biquaternions when the coefficients are complex numbers. Split biquaternions when the coefficients are split complex numbers. Dual quaternions when the coefficients are dual numbers. This article is about the ordinary biquaternions named by William Rowan Hamilton in 1844. Some of the more prominent proponents of these biquaternions include Alexander Macfarlane, Arthur W. Conway, Ludwik Silberstein, and Cornelius Lanczos. As developed below, the unit quasi sphere of the biquaternions provides a representation of the Lorentz group, which is the foundation of special relativity. The algebra of biquaternions can be considered as a tensor product 'C' ⊗'R' 'H', where 'C' is the field of complex numbers and 'H' is the division algebra of (real) quaternions. In other words, the biquaternions are just the complexification of the quaternions. Viewed as a complex algebra, the biquaternions are isomorphic to the algebra of 2 × 2 complex matrices M2('C'). They are also isomorphic to several Clifford algebras including , the Pauli algebra Cl3,0('R'), and the even part of the spacetime algebra.
Терминдер
Бикватерниондар математикалық физиканың басынан бері сызықтық алгебраның құрамына кіргендіктен, бикватернион алгебрасымен суреттелген немесе бейнеленген көптеген ұғымдар бар. Трансформация тобы екі бөліктен тұрады, ал бірінші бөлігі ; онда g-ге сәйкес келетін Лоренц трансформациясы мына түрде беріледі, өйткені мұндай трансформация кватернион көбейту арқылы жүзеге асырылатын айналу болып табылады, ал олардың жиынтығы SO(3) құрайды. Бірақ G тобының бұл кіші тобы қалыпты кіші топ емес, сондықтан гомоморфтық топты құру мүмкін емес. Оны қарастыру үшін бикватерниондардағы бірнеше субальгебралық құрылымды көрсету қажет. r нақты кватерниондық субальгебраның 'H' квадрат түбірлері сферасының бір элементі болсын. Онда 1 = (hr)² = +1 және берілген бикватерниондар жазықтығы комплекс сандар жазықтығына изоморфты коммутативтік субальгебра болып табылады. Қарапайым комплекс жазықтықта бірлік шеңбер болғандай, мұнда да бірлік гипербола бар. Бірлік шеңбер бір элементке көбейту арқылы айналады, сондықтан гипербола да айналады, себебі гиперболадағы алгебралық операторлар гиперболалық версорлар деп аталады. 'C' бірлік шеңбері және Dr бірлік гиперболасы – бір параметрлі топтардың мысалдары. H-тегі минус бірдің кез келген квадрат түбірі r үшін бикватерниондарда бір параметрлі топ бар. Бикватерниондар кеңістігі 8-кеңістіктегі Евклид метрикасы арқылы табиғи топологияға ие. Осы топологияға қатысты G – топологиялық топ. Сонымен қатар, оның аналитикалық құрылымы оны алты параметрлі Лай тобы етеді. Бивекторлардың қосалқы кеңістігін қарастырайық. Онда экспоненциалдық бейнелеу нақты векторларды және h векторларын түрлендіреді. Коммутатормен жабдықталғанда, A G Лай алгебрасын құрайды. Осылайша, алты өлшемді кеңістікті зерттеу Лай теориясының жалпы ұғымдарын енгізуге мүмкіндік береді. Матрицалық түрде қарастырылғанда, G M(2, 'C') матрицаларындағы SL(2, 'C') арнайы сызықтық тобы деп аталады. Арнайы салыстырмалылық теориясының көптеген ұғымдары бикватерниондық құрылымдар арқылы көрсетіледі. M қосалқы кеңістігі Минковский кеңістігіне сәйкес келеді, төрт координата уақыт пен кеңістіктегі оқиғалардың орнын демалыс жүйесінде көрсетеді. Кез келген гиперболалық версор exp(ahr) r бағытындағы c tanh a жылдамдығына сәйкес келеді, мұндағы c – жарық жылдамдығы. Осы жылдамдықтың инерциялық жүйесін Лоренц күшейтуі T арқылы демалыс жүйесіне келтіруге болады, яғни 1 = g = exp(0.5ahr), себебі сонда жарықтан кем жылдамдықпен қозғалыс диапазонын көрсететін гиперболоид физикалық тұрғыдан қызығушылық тудырады. Бұл "жылдамдық кеңістігін" гиперболалық геометрияның гиперболоидты моделімен байланыстыратын көптеген жұмыстар жасалған. Арнайы салыстырмалылық теориясында гиперболалық версордың гиперболалық бұрыш параметрі жылдамдық деп аталады. Осылайша, бикватерниондық топ G Лоренц тобының топтық бейнелеуін ұсынады. Спинорлық теорияны енгізгеннен кейін, әсіресе Вольфганг Паули мен Эли Картанның еңбектерінде, Лоренц тобының бикватерниондық бейнелеуі ескірді. Жаңа әдістер кешенді жарық конусы деп аталатын жиынтықтағы негізгі векторларға негізделген. Лоренц тобының жоғарыда көрсетілген бейнелеуі физиктер төрт вектор деп атаған нәрсеге сәйкес келеді. Төрт вектордан басқа, бөлшектер физикасының стандартты моделі скалярлар деп аталатын басқа Лоренцтік бейнелеулерді және (1, 0) ⊕ (0, 1) бейнелеуді, мысалы, электромагниттік өріс тензорымен байланыстырады. Сонымен қатар, бөлшектер физикасы SL(2, 'C') бейнелеулерін (немесе Лоренц тобының проекциялық бейнелеулерін) сол және оң қолды Вейль спинерлері, Майорана спинерлері және Дирак спинерлері деп атайды. Бұл жеті бейнелеудің әрқайсысы бикватерниондардағы инвариантты кіші кеңістіктер ретінде құрастырылуы мүмкін екені белгілі.
Just as the unit circle turns by multiplication through one of its elements, so the hyperbola turns because Hence these algebraic operators on the hyperbola are called hyperbolic versors. The unit circle in 'C' and unit hyperbola in Dr are examples of one parameter groups. For every square root r of minus one in 'H', there is a one parameter group in the biquaternions given by
The space of biquaternions has a natural topology through the Euclidean metric on 8 space. With respect to this topology, G is a topological group. Moreover, it has analytic structure making it a six parameter Lie group. Consider the subspace of bivectors Then the exponential map
takes the real vectors to and the h vectors to When equipped with the commutator, A forms the Lie algebra of G. Thus this study of a six dimensional space serves to introduce the general concepts of Lie theory. When viewed in the matrix representation, G is called the special linear group SL(2,C) in M(2, 'C'). Many of the concepts of special relativity are illustrated through the biquaternion structures laid out. The subspace M corresponds to Minkowski space, with the four coordinates giving the time and space locations of events in a resting frame of reference. Any hyperbolic versor exp(ahr) corresponds to a velocity in direction r of speed c tanh a where c is the velocity of light. The inertial frame of reference of this velocity can be made the resting frame by applying the Lorentz boost T given by 1=g = exp(0.5ahr) since then so that
Naturally the hyperboloid which represents the range of velocities for sub luminal motion, is of physical interest. There has been considerable work associating this "velocity space" with the hyperboloid model of hyperbolic geometry. In special relativity, the hyperbolic angle parameter of a hyperbolic versor is called rapidity. Thus we see the biquaternion group G provides a group representation for the Lorentz group. After the introduction of spinor theory, particularly in the hands of Wolfgang Pauli and Élie Cartan, the biquaternion representation of the Lorentz group was superseded. The new methods were founded on basis vectors in the set
which is called the complex light cone. The above representation of the Lorentz group coincides with what physicists refer to as four vectors. Beyond four vectors, the standard model of particle physics also includes other Lorentz representations, known as scalars, and the (1, 0) ⊕ (0, 1) representation associated with e. g. the electromagnetic field tensor. Furthermore, particle physics makes use of the SL(2, 'C') representations (or projective representations of the Lorentz group) known as left and right handed Weyl spinors, Majorana spinors, and Dirac spinors. It is known that each of these seven representations can be constructed as invariant subspaces within the biquaternions.