Введение
Кватернионы с комплексными коэффициентами
In abstract algebra, the biquaternions are the numbers w + x 'i' + y 'j' + z 'k', where w, x, y, and z are complex numbers, or variants thereof, and the elements of multiply as in the quaternion group and commute with their coefficients. There are three types of biquaternions corresponding to complex numbers and the variations thereof:
Biquaternions when the coefficients are complex numbers. Split biquaternions when the coefficients are split complex numbers. Dual quaternions when the coefficients are dual numbers. This article is about the ordinary biquaternions named by William Rowan Hamilton in 1844. Some of the more prominent proponents of these biquaternions include Alexander Macfarlane, Arthur W. Conway, Ludwik Silberstein, and Cornelius Lanczos. As developed below, the unit quasi sphere of the biquaternions provides a representation of the Lorentz group, which is the foundation of special relativity. The algebra of biquaternions can be considered as a tensor product 'C' ⊗'R' 'H', where 'C' is the field of complex numbers and 'H' is the division algebra of (real) quaternions. In other words, the biquaternions are just the complexification of the quaternions. Viewed as a complex algebra, the biquaternions are isomorphic to the algebra of 2 × 2 complex matrices M2('C'). They are also isomorphic to several Clifford algebras including , the Pauli algebra Cl3,0('R'), and the even part of the spacetime algebra.
В абстрактной алгебре бикватернионы — это числа вида w + x'i' + y'j' + z'k', где w, x, y и z — комплексные числа или их варианты, а элементы перемножаются как в группе кватернионов и коммутируют со своими коэффициентами. Существуют три типа бикватернионов, соответствующие комплексным числам и их вариациям: бикватернионы с комплексными коэффициентами, расщеплённые бикватернионы с расщеплёнными комплексными коэффициентами и двойные кватернионы с двойственными числами в качестве коэффициентов. Данная статья посвящена обычным бикватернионам, названным Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1844 году. Среди известных сторонников этих бикватернионов — Александр Макфарлейн, Артур Конвей, Людвик Сильберштейн и Корнелиус Ланчос. Как будет показано ниже, единичная квазисфера бикватернионов представляет собой реализацию группы Лоренца, являющейся основой специальной теории относительности. Алгебра бикватернионов может рассматриваться как тензорное произведение C ⊗ℝ H, где C — поле комплексных чисел, а H — алгебра деления (действительных) кватернионов. Иными словами, бикватернионы — это комплексное расширение кватернионов. Рассматриваемые как комплексная алгебра, бикватернионы изоморфны алгебре 2 × 2 комплексных матриц M₂(C). Они также изоморфны нескольким алгебрам Клиффорда, включая алгебру Паули Cl₃,₀(ℝ) и чётную часть алгебры пространства-времени.
In abstract algebra, the biquaternions are the numbers w + x 'i' + y 'j' + z 'k', where w, x, y, and z are complex numbers, or variants thereof, and the elements of multiply as in the quaternion group and commute with their coefficients. There are three types of biquaternions corresponding to complex numbers and the variations thereof:
Biquaternions when the coefficients are complex numbers. Split biquaternions when the coefficients are split complex numbers. Dual quaternions when the coefficients are dual numbers. This article is about the ordinary biquaternions named by William Rowan Hamilton in 1844. Some of the more prominent proponents of these biquaternions include Alexander Macfarlane, Arthur W. Conway, Ludwik Silberstein, and Cornelius Lanczos. As developed below, the unit quasi sphere of the biquaternions provides a representation of the Lorentz group, which is the foundation of special relativity. The algebra of biquaternions can be considered as a tensor product 'C' ⊗'R' 'H', where 'C' is the field of complex numbers and 'H' is the division algebra of (real) quaternions. In other words, the biquaternions are just the complexification of the quaternions. Viewed as a complex algebra, the biquaternions are isomorphic to the algebra of 2 × 2 complex matrices M2('C'). They are also isomorphic to several Clifford algebras including , the Pauli algebra Cl3,0('R'), and the even part of the spacetime algebra.
Сопутствующая терминология
Поскольку бикватернионы являются неотъемлемой частью линейной алгебры с момента зарождения математической физики, существует множество концепций, которые иллюстрируются или представляются бикватернионной алгеброй. Группа преобразований состоит из двух частей, и первая часть характеризуется ; тогда преобразование Лоренца, соответствующее g, задается как , поскольку такое преобразование является вращением, заданным умножением на кватернион, а их совокупность составляет SO(3). Однако эта подгруппа G не является нормальной, поэтому невозможно образовать факторгруппу. Чтобы увидеть это, необходимо показать некоторую структуру субальгебры в бикватернионах. Пусть r представляет собой элемент сферы квадратных корней из минус единицы в вещественной кватернионной субальгебре 'H'. Тогда 1 = (hr)² = +1, и плоскость бикватернионов, заданная , является коммутативной субальгеброй, изоморфной плоскости расщепленных комплексных чисел. Подобно тому, как обычная комплексная плоскость имеет единичную окружность, имеет единичную гиперболу, заданную как. Единичная окружность в 'C' вращается умножением на один из ее элементов, так же и гипербола вращается, поскольку. Следовательно, эти алгебраические операторы на гиперболе называются гиперболическими версорами. Единичная окружность в 'C' и единичная гипербола в Dr являются примерами однопараметрических групп. Для каждого квадратного корня r из минус единицы в 'H' существует однопараметрическая группа в бикватернионах, заданная пространством бикватернионов, имеет естественную топологию, заданную евклидовой метрикой в 8-мерном пространстве. Относительно этой топологии G является топологической группой. Более того, она обладает аналитической структурой, что делает ее шестипараметрической группой Ли. Рассмотрим подпространство бивекторов. Тогда экспоненциальное отображение переводит вещественные векторы в , а векторы h в . Оснащенная коммутатором, A образует алгебру Ли группы G. Таким образом, это исследование шестимерного пространства служит для введения общих понятий теории Ли. При рассмотрении в матричном представлении G называется специальной линейной группой SL(2, ℂ) в M(2, ℂ). Многие концепции специальной теории относительности иллюстрируются бикватернионными структурами. Подпространство M соответствует пространству Минковского, с четырьмя координатами, задающими пространственно-временные координаты событий в неподвижной системе отсчета. Любой гиперболический версор exp(ahr) соответствует скорости в направлении r со скоростью c tanh a, где c — скорость света. Неподвижная система отсчета этой скорости может быть преобразована в систему отсчета, находящуюся в состоянии покоя, путем применения преобразования Лоренца T, заданного 1 = g = exp(0.5ahr), поскольку тогда. Естественно, гиперболоид, представляющий диапазон скоростей для субсветового движения, представляет физический интерес. Проделана значительная работа по связыванию этого «пространства скоростей» с гиперболоидной моделью гиперболической геометрии. В специальной теории относительности гиперболический параметр угла гиперболического версора называется быстротой. Таким образом, мы видим, что бикватернионная группа G обеспечивает групповое представление для группы Лоренца. После введения теории спиноров, особенно благодаря работам Вольфганга Паули и Эли Картана, бикватернионное представление группы Лоренца было вытеснено. Новые методы основывались на базисных векторах в множестве, которое называется комплексным световым конусом. Вышеуказанное представление группы Лоренца совпадает с тем, что физики называют четырёхвекторами. Помимо четырёхвекторов, стандартная модель физики частиц также включает другие представления Лоренца, известные как скаляры и представление (1, 0) ⊕ (0, 1), связанное, например, с тензором электромагнитного поля. Кроме того, физика частиц использует представления SL(2, ℂ) (или проективные представления группы Лоренца), известные как левые и правые спиноры Вейля, спиноры Майораны и спиноры Дирака. Известно, что каждое из этих семи представлений может быть построено как инвариантные подпространства в бикватернионах.
Just as the unit circle turns by multiplication through one of its elements, so the hyperbola turns because Hence these algebraic operators on the hyperbola are called hyperbolic versors. The unit circle in 'C' and unit hyperbola in Dr are examples of one parameter groups. For every square root r of minus one in 'H', there is a one parameter group in the biquaternions given by
The space of biquaternions has a natural topology through the Euclidean metric on 8 space. With respect to this topology, G is a topological group. Moreover, it has analytic structure making it a six parameter Lie group. Consider the subspace of bivectors Then the exponential map
takes the real vectors to and the h vectors to When equipped with the commutator, A forms the Lie algebra of G. Thus this study of a six dimensional space serves to introduce the general concepts of Lie theory. When viewed in the matrix representation, G is called the special linear group SL(2,C) in M(2, 'C'). Many of the concepts of special relativity are illustrated through the biquaternion structures laid out. The subspace M corresponds to Minkowski space, with the four coordinates giving the time and space locations of events in a resting frame of reference. Any hyperbolic versor exp(ahr) corresponds to a velocity in direction r of speed c tanh a where c is the velocity of light. The inertial frame of reference of this velocity can be made the resting frame by applying the Lorentz boost T given by 1=g = exp(0.5ahr) since then so that
Naturally the hyperboloid which represents the range of velocities for sub luminal motion, is of physical interest. There has been considerable work associating this "velocity space" with the hyperboloid model of hyperbolic geometry. In special relativity, the hyperbolic angle parameter of a hyperbolic versor is called rapidity. Thus we see the biquaternion group G provides a group representation for the Lorentz group. After the introduction of spinor theory, particularly in the hands of Wolfgang Pauli and Élie Cartan, the biquaternion representation of the Lorentz group was superseded. The new methods were founded on basis vectors in the set
which is called the complex light cone. The above representation of the Lorentz group coincides with what physicists refer to as four vectors. Beyond four vectors, the standard model of particle physics also includes other Lorentz representations, known as scalars, and the (1, 0) ⊕ (0, 1) representation associated with e. g. the electromagnetic field tensor. Furthermore, particle physics makes use of the SL(2, 'C') representations (or projective representations of the Lorentz group) known as left and right handed Weyl spinors, Majorana spinors, and Dirac spinors. It is known that each of these seven representations can be constructed as invariant subspaces within the biquaternions.