Эджворт теоремасы: Экономиканың өсуімен нарық тепе-теңдігіне жуындау
Edgeworth's limit theorem
Эджворт теоремасы: Экономикада агенттер саны артқан сайын, нарық тепе-теңдігіне қарай жуықтайды. Вальрастық тепе-теңдік, баға белгілеушілер, экономикалық теория.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық теорема
Mathematical theorem
Эджворттың шектелу теоремасы – Франсис Исидро Эджворттың есімімен аталатын экономикалық теорема, ол экономиканың ядросы агенттер саны шексізге ұмтылғанда Вальрасиялық тепе-теңдіктер жиынтығына дейін тарылады деп мәлімдейді. Яғни, еркін нарықтағы алмасу немесе бартер нәтижесінде туындайтын барлық мүмкін нәтижелердің ішінде, тараптар арасындағы соңғы келісімнің (тауарлардың соңғы бөлісінің) нақты орны бірегей түрде анықталмаса, саудагерлер саны артқан сайын, барлық мүмкін соңғы келісімдер жиынтығы Вальрасиялық тепе-теңдіктер жиынтығына жақындайды. Бұл интуитивті түрде экономиканың көлемі ұлғайғанда агенттердің бағаға бейім агенттер сияқты әрекет ететінін көрсетеді, тіпті олар саудаласуға мүмкіндігі болса да. Эджворт (1881) теореманы болжаған, қажетті түсініктердің көп бөлігін ұсынған және оны дәлелдеуге қадам жасаған. Дебреу мен Скарф (1963) және Ауман (1964) әртүрлі шарттарда формалды дәлелдер келтірді, екеуі де Эджворт болжағаннан қатаң талаптарда дәлелдеді. Дебреу мен Скарф «көшірме экономика» жағдайын қарастырды, онда агенттердің типтері шектеулі, ал экономиканы «үлкен» ету үшін қосылған агенттердің типтері және пропорциялары қазіргі агенттермен бірдей. Ауманның нәтижесі агенттердің үздіксіздігіне негізделген.
Edgeworth's limit theorem is an economic theorem, named after Francis Ysidro Edgeworth, stating that the core of an economy shrinks to the set of Walrasian equilibria as the number of agents increases to infinity. That is, among all possible outcomes which may result from free market exchange or barter between groups of people, while the precise location of the final settlement (the ultimate division of goods) between the parties is not uniquely determined, as the number of traders increases, the set of all possible final settlements converges to the set of Walrasian equilibria. Intuitively, it may be interpreted as stating that as an economy grows larger, agents increasingly behave as if they are price taking agents, even if they have the power to bargain. Edgeworth (1881) conjectured the theorem, and provided most of the necessary intuition and went some way towards its proof. Formal proofs were presented under different assumptions by Debreu and Scarf (1963) as well as Aumann (1964), both proved under conditions stricter than what Edgeworth conjectured. Debreu and Scarf considered the case of a "replica economy" where there is a finite number of agent types and the agents added to the economy to make it "large" are of the same type and in the same proportion as those already in it. Aumann's result relied on an existence of a continuum of agents.
Экономиканың негізі
Экономиканың негізі – кооперативтік ойын теориясынан алынған, экономикадағы тұтынушылар жиынтығының (коалиция) кез келген кіші тобымен жақсартылмайтын, мүмкін үлестірулер жиынтығы ретінде анықталатын түсінік. Әдетте, жалпы тепе-теңдік экономикасында, ядро бос емес (кем дегенде бір мүмкін үлестіру бар), сонымен қатар, талаптарды қанағаттандыратын мүмкін үлестірулердің үздіксіз саны болуы мүмкін, яғни "үлкен". Бұл болжамның мәні, агенттердің саны да "үлкен" болса, ядродағы жалғыз үлестірулер бәсекелестік нарықта туындайтын нәтижемен сәйкес келеді. Осылайша, бұл болжам жалпы тепе-теңдік теориясындағы бағаны қабылдайтын агенттер туралы қалыпты ережеге ойын теориялық негіз береді. Яғни, "үлкен" экономикада адамдар бағаны қабылдағандай әрекет етеді, тіпті теориялық тұрғыдан алғанда бағаны белгілеуге және сауда шартын қайта келісуге толық құқықтары бар. Сондықтан, жалпы тепе-теңдіктің шартты Уолрасиялық аукционы, қатаң айтқанда, шындыққа сай болмаса да, дұрыс жауапты алудың "жай жолы" ретінде қарастырылуы мүмкін.
The core of an economy is a concept from cooperative game theory defined as the set of feasible allocations in an economy that cannot be improved upon by subset of the set of the economy's consumers (a coalition). For general equilibrium economies typically the core is non empty (there is at least one feasible allocation) but also "large" in the sense that there may be a continuum of feasible allocations that satisfy the requirements. The conjecture basically states that if the number of agents is also "large" then the only allocations in the core are precisely what a competitive market would produce. As such, the conjecture is seen as providing some game theoretic foundations for the usual assumption in general equilibrium theory of price taking agents. In particular, it means that in a "large" economy people act as if they were price takers, even though theoretically they have all the power to set prices and renegotiate their trades. Hence, the fictitious Walrasian auctioneer of general equilibrium, while strictly speaking completely unrealistic, can be seen as a "short cut" to getting the right answer.
Тек екі тауар болған кездегі сурет
Франсис Исидро Эджворт алғаш рет кейіннен шек теоремасы ретінде белгілі болған нәрсені өзінің "Математикалық психика" (1881) атты кітабында сипаттады. Ол қазір Edgeworth қорабы деп аталатын нұсқаны (тиісті осьтерде иеленген мөлшерден гөрі, саудаланған мөлшермен) әртүрлі мөлшердегі саудагерлер тобы арасындағы сауданы талдау үшін пайдаланды. Жалпы алғанда, ол "Бәсеке болмаған кездегі келісім-шарт белгісіз, толық бәсеке болған кездегі келісім-шарт толыққанды анықталған, [ал] жартылай бәсеке болған кездегі келісім-шарт солғайынша белгісіз болады" деген қорытындыға келді.
Francis Ysidro Edgeworth first described what later became known as the limit theorem in his book Mathematical Psychics (1881). He used a variant of what is now known as the Edgeworth box (with quantities traded, rather than quantities possessed, on the relevant axes) to analyse trade between groups of traders of various sizes. In general he found that 'Contract without competition is indeterminate, contract with perfect competition is perfectly determinate, [and] contract with more or less perfect competition is less or more indeterminate.'
Сауда-саттықсыз бәсекелестік
Егер екі тауармен, X және Y, сауда жасау бір ғана саудагерлер жұбы, A және B арасында жүргізілсе, осы сауданың ықтимал нәтижелерін Эджворт қорабында көрсетуге болады (1-сурет). Бұл диаграммада А мен В бастапқыда X және Y-нің барлық қорына ие (Е нүктесі). U(a) және U(b) сызықтары – бастапқы иеліктеріне тең пайдалылықты беретін тауарлардың комбинацияларын көрсететін нүктелер арқылы өтетін А және В-ның теңдік қисықтары. Сауда мәжбүрлеусіз деп есептелгендіктен, ешбір саудагер бастапқы жағдайынан нашаррақ болатын соңғы келісімге келіспейді, сондықтан U(a) және U(b) мүмкін келісімдердің шекараларын білдіреді. Эджворт саудагерлердің келісім шарты қисығында (C мен C' арасында) стильді келіссөздер арқылы, қайта келісім жасау процесі арқылы жететінін көрсетті. Келісім шарты қисығының кез келген нүктесінде бір адамның жағдайын жақсарту үшін екіншісінің жағдайы нашарлауы керек болғандықтан, саудагерлер келісімге келгеннен кейін бұл соңғы келісім болады. Келісім шарты қисығында соңғы келісімнің нақты қай жерде болатынын анықтау мүмкін емес. Бұл екі адам арасындағы келіссөздер процесіне байланысты болады; келіссөздер кезінде үстемдік алатын тарап өзінің тауарларына жоғары баға ала алады және саудадан үлкен пайда табады. Бұл Эджворттың маңызды жаңалығы – екі адам арасындағы сауданың нәтижесі белгілі бір шекте болжамдалады, бірақ нақты нәтижесі белгісіз.
If trade in two goods, X and Y, occurs between a single pair of traders, A and B, the potential outcomes of this trade can be shown in an Edgeworth box (Figure 1). In this diagram A and B initially possess the entire stock of X and Y respectively (point E). The lines U(a) and U(b) are the indifference curves of A and B which run through points representing combinations of goods which give utility equal to their initial holdings. As trade here is assumed to be non coercive, neither of the traders will agree to a final settlement which leaves them worse off than they started off and thus U(a) and U(b) represent the outer boundaries of possible settlements. Edgeworth demonstrated that traders will ultimately reach a point on the contract curve (between C and C') through a stylized bargaining process which is termed the recontracting process. As neither person can be made better off without the other being made worse off at points on the contract curve, once the traders agree to settle at a point on it, this is a final settlement. Exactly where the final settlement will be on the contract curve cannot be determined. It will depend on the bargaining process between the two people; the party who is able to obtain an advantage while bargaining will be able to obtain a better price for his or her goods and thus receive the higher gains from trade. This was Edgeworth's key finding the result of trade between two people can be predicted within a certain range but the exact outcome is indeterminate.
Кемелденбеген бәсекелестік жағдайындағы сауда
Егер бастапқы жұп саудагерлерге тағы бір ұқсас жұп қосылса, онда осы жаңа саудагерлер алғашқы жұпқа ұқсас болғандықтан, сауданы талдау үшін дәл сол Edgeworth қойындысын пайдалануға болады. Сауданың жаңа сыртқы шектерін қарастыру үшін Edgeworth екі адам арасындағы сауда шегінде (2-суреттегі С немесе С' нүктесі) сауда жасалатын жағдайды қарастырды. Егер сауда С нүктесінде жасалса, онда B саудагерлерінің бірі (мысалы, B(1)) саудадан түскен барлық пайданы алады. B(1) саудагерімен (мысалы, A(1)) сауда жасаған А саудагерінің енді X және Y тауарларының қоспасы бар, оны A(2) саудагерімен саудаласуға болады. Екі А саудагері де бірдей болғандықтан, олар саудадан кейін қалған мүлікті тең бөлісіп, 2-суреттегі P нүктесіне орналасады, бұл оларға әдеттегіден жоғары пайдалылық (U'(a) бейтараптық қисығы, U(a) орнына) береді. B(2) енді А саудагерлеріне олардың тауарлары үшін жақсы баға ұсынуға және осы бағамен сауда жасауға мүмкіндік алады, соның салдарынан B(1) қанағаттанбауға мәжбүр болады. B саудагерлері А саудагерлеріне жақсы баға ұсыну үшін бәсекелесіп, А саудагерлері P нүктесінде сауда жасау мен келісім шарты қисығында сауда жасау арасындағы айырмашылықты сезінбейтінше бұл процеске қанағаттанбайды (3-сурет). Осыған ұқсас пікірді А(1) саудадан түскен барлық пайданы бастапқыда алған жағдайда да қолдануға болады, және U(b) көрсеткішімен берілген сыртқы шек те ішке қарай жылғатынын көрсетуге болады. Бұл нарықтың қысқаруы деп аталады, себебі қосымша саудагерлер қосылғанда, сауданың мүмкін болатын диапазоны тарылады. Егер үшінші саудагер жұбы қосылса, нарықтың қысқаруы одан да күшейеді. Егер сауда B(1) саудагері саудадан барлық пайданы алатын шекте жасалса, онда P нүктесі EC сызығының үштен екі бөлігін құрайды. Бұл А саудагерлерінің сауда-саттыққа қабілетін жақсартады, олар B саудагерлерімен сауда жасау үшін бәсекелесетін жағдайда жоғары бейтараптық қисығына көтеріле алады. Көптеген саудагер жұптары бар жағдайда соңғы есептесудің сыртқы шегін жалпылауға болады (4-сурет), онда K = (n-1)/n.
Suppose a single extra pair of identical traders is added to this initial pair. As these new traders are identical to the first pair, the same Edgeworth box can be used to analyse the exchange. To examine the new outer limits of the trade, Edgeworth considered the situation where trade occurs at the limit of trade between two people (point C or C' in Figure 2). If trade were to occur at point C one of the B's (say B(1)) would receive all the gains from trade. The one A who trades with B(1) (say A(1)) now has a mix of goods X and Y which he is able to trade with A(2). As the two A's are identical, they will agree to split their post trade endowments equally between them, placing them at point P in Figure 2 which gives them a higher utility than they would otherwise receive (indifference curve U'(a) instead of U(a)). B(2) now has an opportunity and strong incentive to offer the A's a better price for their goods and trade with them at this price, leaving B(1) out in the cold. This process of B's competing against one another to offer the A's a better price will continue until the A's are indifferent between trading at P and trading on the contract curve (Figure 3). The same reasoning can be applied to the case where A(1) initially receives all the gains from trade, and it can be shown that the outermost limit given by U(b) will also move inwards. This is called the shrinking core of the market as an extra pair of traders is added, the feasible range of trades shrinks. If a third pair of traders is added, the core of the market shrinks further. If trade occurs at the limit where B(1) gets all the gains from trade, the point P is now two thirds of the way along the line EC. This improves the bargaining power of the A's who are able to get onto a higher indifference curve as B's compete to trade with them. The outer limit of final settlement where there are multiple pairs of traders can be generalised (Figure 4) where K = (n 1)/n.
Толық бәсекелестік жағдайындағы сауда
Егер жеткілікті мөлшерде саудагерлер болса, нарықтың ядросы соңғы есептесу нүктесі толық анықталатындай етіп тарылады (5-сурет). Бұл нүкте толық бәсекелестік модельдерінде сауда-саттық жүзеге асырылатын деп есептелетін бағалық тепе-теңдікке тең.
If there is a sufficient number of traders, the core of the market will shrink such that the point of final settlement is perfectly determinate (Figure 5). This point is equal to the price taking equilibrium at which trade is assumed to take place at in models of perfect competition.
Жалпылау
Бұл талдауды бір-біріне ұқсамайтын немесе мұңдыққа толы емес мотивациялары бар саудагерлерді, сондай-ақ бір саудагерлер тобы екіншісінен үлкен болған жағдайды ескеру үшін өзгертуге болады. Егер саудагерлер әртүрлі болса, P нүктесі саудагерлер тобы арасындағы «жарты-жартылай» сауданы көрсетпейді және осы нүктемен анықталған келісім-шарт қисығының сыртқы шегі тиісінше өзгереді. Егер бір саудагердің пайдасы екіншісінің пайдасына әсер етсе (яғни, екіншісі мұңдыққа толы емес болса), онда келісім-шарт қисығының сәйкес шегі ішке қарай тарылып, ең теңсіз саудаларды болдырмайды. Егер саудагерлер тобының мөлшері әртүрлі болса, келісім-шарт қисығының сыртқы шектері бірдей деңгейде тарылмайды.
This analysis can be modified to accommodate traders who are not identical or who have motivations which aren't purely selfish as well as the situation where one group of traders is larger than the other. If the traders are heterogeneous the point P will not reflect a "split the difference" trade between the group of traders and the outer limit of trade determined by this point will be modified accordingly. If the utility of one trader(s) influences the utility of another (i. e. the latter is not selfish) then the associated limit of the contract curve will shrink inwards, ruling out the most inequitable trades. If the groups of traders are differently sized, the outer limits of the contract curve will not shrink an equal amount.
Салдары
Лимит теоремасының екі маңызды салдары бар. Біріншісі, кішкентай топтар арасындағы сауданың нәтижесі белгісіз болып келеді және Эджворт айтқандай, экономикалық емес факторлармен анықталады. Екіншісі, бағаға қатысты тепе-теңдік жағдайы, өте көп саудагерлердің қайта келісім жасау процесі арқылы бәсекелесуі нәтижесінде туындауы мүмкін. Бұл тепе-теңдік нүктесін саудагерлердің топтары саудадан пайда табу үшін бірігіп әрекет ету арқылы өзгерте алмайды, себебі басқа саудагерлер әрқашан топтан шығып, өздерін қорғауға ұмтылады. Осыған байланысты, кейбір жағдайларда бағаны қабылдаушылық мінез-құлқына жүгінуге болады, тіпті бағаны қабылдау жағдайының қалай пайда болатыны туралы түсіндірмелер (мысалы, татондамент) сенімсіз болса да.
There are two main implications of the limit theorem. The first is that the result of trade between small groups of people is indeterminate and is determined by what were to Edgeworth non economic factors. The second is that the equivalent of a price taking equilibrium can arise from competition between very large groups of traders through the recontracting process. This equilibrium point cannot be moved by groups of traders acting in collusion to try to obtain the gains from trade for themselves as other traders will always have an incentive to leave the group out in the cold. This provides a justification for assuming price taking behaviour in certain situations, even though explanations of how a price taking situation can arise (such as tatonnement) are clearly implausible.
Сындар
Белгісіздік нәтижесінің көп бөлігі сауда-саттық нәтижелерінің белгісіздігіне немесе, ең болмағанда, экономикалық болжамдар саласынан тыс екендігіне жасалған болжамға тікелей байланысты. Джон Нэш сияқты ғалымдардың ойын теориясының қазіргі заманғы жетістіктері осы болжамды күшпен жоққа шығарады және күрделі сауда-саттық жағдайларында тұрақты тепе-теңдіктерді (мысалы, Нэш тепе-теңдігі) анықтайды. Бұдан бөлек, Эджворт ұсынған қайта келісім жасау процесі жоғары дәрежеде формалды, онда саудагерлер бір-бірімен келісімдер жасау, бұзу және қайта жасау арқылы ақпарат алады. Маршалл осы тұста Эджвортты қатаң сынады. Егер қайта келісім жасау процесі нақты әлемдегі мінез-құлықты түсіндірмесе, онда бәсекелестік саудагерлердің бағаны қабылдайтын тепе-теңдік нүктесіне жететіні туралы нәтиже міндетті түрде дұрыс болмайды.
To a large degree the indeterminacy result relies on the assumption that the results of bargaining are indeterminate or, at the very least, outside the realm of economic speculation. Modern advances in game theory, such as those developed by John Nash, challenge this assumption and derive stable equilibria (such as the Nash equilibrium ) in complicated bargaining situations. Further, Edgeworth's proposed recontracting process is highly stylised, involving traders obtaining information by costlessly making, breaking and re making contracts with each other. Marshall strongly criticised Edgeworth on this point. If the recontracting process does not explain real world behaviour then the result that the price taking equilibrium point will be reached by competitive traders will not necessarily be true.