Түйіндер теориясындағы кезектесетін түйіндер мен сілтемелер
Alternating knot
Түйіндер теориясы: алмасушы түйіндер мен байланыстар, олардың қасиеттері (Тейт болжамдары) және 10-нан аз түйіні бар түйіндердің көптігі туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Торап теориясында түйін немесе сілтеме диаграммасы, егер сілтемелердің әр компоненті бойынша қиылыстар астынан, үстінен, астынан, үстінен ретімен ауысып келсе, алмасу диаграммасы деп аталады. Егер сілтеме алмасу диаграммасына ие болса, онда ол алмасушы сілтеме болып табылады. 10-нан аз қиылысу саны бар көптеген түйіндер алмасушы болып келеді. Осы факт және Тайт болжамдары сияқты алмасушы түйіндердің пайдалы қасиеттері, Тайт сияқты алғашқы түйін тізімдеушілерге салыстырмалы түрде аз қателермен немесе жіберулермен кестелер жасауға мүмкіндік берді. Ең қарапайым алмаспайтын жай түйіндердің 8 қиылысы бар (мұндай үш түйін бар: 819, 820, 821). Қиылысу саны артқан сайын, алмасушы түйіндердің үлесі экспоненциалды түрде тез 0-ге жақындайды деп болжанады. Алмасушы сілтемелер түйін теориясында және 3-массив теориясында маңызды рөл атқарады, олардың толықтырулары пайдалы және қызықты геометриялық және топологиялық қасиеттерге ие болғандықтан. Бұл Ральф Фоксты "Алмасушы түйін деген не?" деп сұрауға итермеледі. Осы сұрақпен ол түйіннің толықтыруының қандай диаграммалық емес қасиеттері алмасушы түйіндерді сипаттайтынын білгісі келді. 2015 жылдың қараша айында Джошуа Эван Грин, сілтеме диаграммасын қолданбай, алмасушы сілтемелерді (алмасушы түйіндер оның ерекше жағдайы) анықтамалы аралық беттер тұрғысынан сипаттайтын препринт жариялады. Әртүрлі геометриялық және топологиялық ақпарат алмасушы диаграммада көрінеді. Сілтеменің жайлығы және бөлінуі диаграммадан оңай көрінеді. Азайтылған алмасушы диаграмманың қиылысу саны түйіннің қиылысу санына тең. Соңғысы – Тайттың атақты болжамдарының бірі. Алмасушы түйін диаграммасы жазық графпен бір-бірге сәйкес келеді. Әр қиылыс қабырғамен байланысты, ал диаграмманың толықтыруының жартысы шахмат тақтасы тәрізді орналасқан төбелермен байланысты.
In knot theory, a knot or link diagram is alternating if the crossings alternate under, over, under, over, as one travels along each component of the link. A link is alternating if it has an alternating diagram. Many of the knots with crossing number less than 10 are alternating. This fact and useful properties of alternating knots, such as the Tait conjectures, was what enabled early knot tabulators, such as Tait, to construct tables with relatively few mistakes or omissions. The simplest non alternating prime knots have 8 crossings (and there are three such: 819, 820, 821). It is conjectured that as the crossing number increases, the percentage of knots that are alternating goes to 0 exponentially quickly. Alternating links end up having an important role in knot theory and 3 manifold theory, due to their complements having useful and interesting geometric and topological properties. This led Ralph Fox to ask, "What is an alternating knot?" By this he was asking what non diagrammatic properties of the knot complement would characterize alternating knots. In November 2015, Joshua Evan Greene published a preprint that established a characterization of alternating links in terms of definite spanning surfaces, i. e. a definition of alternating links (of which alternating knots are a special case) without using the concept of a link diagram. Various geometric and topological information is revealed in an alternating diagram. Primeness and splittability of a link is easily seen from the diagram. The crossing number of a reduced, alternating diagram is the crossing number of the knot. This last is one of the celebrated Tait conjectures. An alternating knot diagram is in one to one correspondence with a planar graph. Each crossing is associated with an edge and half of the connected components of the complement of the diagram are associated with vertices in a checker board manner.
Гиперболалық көлем
Менаско, Хакен көптүрліліктері үшін Турстонның гиперболизация теоремасын қолданып, кез келген жайқы, бөлінбеген ауыспалы түйіннің гиперболалық екенін көрсетті, яғни түйіннің толықтыруы гиперболалық геометрияға ие, егер түйін торус түйіні болмаса. Осылайша гиперболалық көлем көптеген ауыспалы түйіндердің инварианты болып табылады. Марк Лакенби көлемнің, қысқартылған ауыспалы схеманың бұрылу аймақтары санына байланысты жоғарғы және төменгі сызықтық шектері бар екенін көрсетті.
Menasco, applying Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds, showed that any prime, non split alternating link is hyperbolic, i. e. the link complement has a hyperbolic geometry, unless the link is a torus link. Thus hyperbolic volume is an invariant of many alternating links. Marc Lackenby has shown that the volume has upper and lower linear bounds as functions of the number of twist regions of a reduced, alternating diagram.