Чередующиеся узлы и ссылки: теория и характеризация.
Alternating knot
Узлы и зацепления в теории узлов: определение, свойства и важность для классификации. Альтернирующие узлы, гипотезы Тейта и примеры неальтернирующих узлов.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В теории узлов диаграмма узла или зацепления называется чередующейся, если при обходе каждого компонента зацепления пересечения чередуются: под, над, под, над. Зацепление является чередующимся, если у него есть чередующаяся диаграмма. Многие узлы с числом пересечений меньше 10 являются чередующимися. Этот факт и полезные свойства чередующихся узлов, такие как гипотезы Тейта, позволили первым составителям таблиц узлов, например Тейту, создавать таблицы с относительно небольшим количеством ошибок или пропусков. Самые простые не чередующиеся простые узлы имеют 8 пересечений (и их три: 819, 820, 821). Предполагается, что с увеличением числа пересечений процент чередующихся узлов экспоненциально быстро стремится к нулю. Чередующиеся зацепления играют важную роль в теории узлов и теории трехмерных многообразий благодаря тому, что дополнения к ним обладают полезными и интересными геометрическими и топологическими свойствами. Это побудило Ральфа Фокса задать вопрос: «Что такое чередующийся узел?». Под этим он подразумевал, какие недеаграмматические свойства дополнения узла характеризуют чередующиеся узлы. В ноябре 2015 года Джошуа Эван Грин опубликовал препринт, в котором была установлена характеристика чередующихся зацеплений в терминах однозначно определяющих покрывающих поверхностей, то есть определение чередующихся зацеплений (в качестве частного случая которых выступают чередующиеся узлы) без использования понятия диаграммы зацепления. Различная геометрическая и топологическая информация проявляется в чередующейся диаграмме. Простота и расщепляемость зацепления легко определяются по диаграмме. Число пересечений редуцированной чередующейся диаграммы равно числу пересечений узла. Это одна из известных гипотез Тейта. Диаграмма чередующегося узла находится во взаимно однозначном соответствии с плоским графом. Каждое пересечение связано с ребром, а половина связных компонент дополнения диаграммы связана с вершинами в шахматном порядке.
In knot theory, a knot or link diagram is alternating if the crossings alternate under, over, under, over, as one travels along each component of the link. A link is alternating if it has an alternating diagram. Many of the knots with crossing number less than 10 are alternating. This fact and useful properties of alternating knots, such as the Tait conjectures, was what enabled early knot tabulators, such as Tait, to construct tables with relatively few mistakes or omissions. The simplest non alternating prime knots have 8 crossings (and there are three such: 819, 820, 821). It is conjectured that as the crossing number increases, the percentage of knots that are alternating goes to 0 exponentially quickly. Alternating links end up having an important role in knot theory and 3 manifold theory, due to their complements having useful and interesting geometric and topological properties. This led Ralph Fox to ask, "What is an alternating knot?" By this he was asking what non diagrammatic properties of the knot complement would characterize alternating knots. In November 2015, Joshua Evan Greene published a preprint that established a characterization of alternating links in terms of definite spanning surfaces, i. e. a definition of alternating links (of which alternating knots are a special case) without using the concept of a link diagram. Various geometric and topological information is revealed in an alternating diagram. Primeness and splittability of a link is easily seen from the diagram. The crossing number of a reduced, alternating diagram is the crossing number of the knot. This last is one of the celebrated Tait conjectures. An alternating knot diagram is in one to one correspondence with a planar graph. Each crossing is associated with an edge and half of the connected components of the complement of the diagram are associated with vertices in a checker board manner.
Гиперболический объем
Менаско, применяя теорему гиперболизации Турстона для многообразий Хакена, показал, что любая простая, не расщепляемая чередующаяся ссылка является гиперболической, то есть дополнение ссылки обладает гиперболической геометрией, за исключением случая, когда ссылка является тороидальной. Таким образом, гиперболический объем является инвариантом для многих чередующихся ссылок. Марк Лакенби показал, что объем имеет верхнюю и нижнюю линейные оценки как функции от числа областей скручивания в редуцированной чередующейся диаграмме.
Menasco, applying Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds, showed that any prime, non split alternating link is hyperbolic, i. e. the link complement has a hyperbolic geometry, unless the link is a torus link. Thus hyperbolic volume is an invariant of many alternating links. Marc Lackenby has shown that the volume has upper and lower linear bounds as functions of the number of twist regions of a reduced, alternating diagram.