Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Жинақ теориясының негізгі ұғымы
Basic concept in set theory
Математикада, нүктелі жиын (негізделген жиын немесе тамырланған жиын деп те аталады) – нақтыланған нүктесі бар жиын.
In mathematics, a pointed set (also based set or rooted set
Нүктелі жиындар арасындағы бейнелеулер негізделген бейнелеулер, нүктелі бейнелеулер деп аталады. Нүктелі бейнелеулер – бұл аталған алгебралық құрылымдардың гомоморфизмдері. Барлық нүктелі жиындар класы және барлық негізделген бейнелеулер класы бірге санатты құрайды. Кез келген нүктелі жиынды негізгі нүктесін естен шығару арқылы қарапайым жиынға айналдыруға болады (естен шығарушы функтор адал), бірақ керісінше дұрыс емес. Атап айтқанда, бос жиынды нүктелеу мүмкін емес, себебі оның базалық нүкте ретінде таңдауға болатын мүшесі жоқ.
Maps between pointed sets and —called based maps, pointed maps, Pointed maps are the homomorphisms of these algebraic structures. The class of all pointed sets together with the class of all based maps forms a category. Every pointed set can be converted to an ordinary set by forgetting the basepoint (the forgetful functor is faithful), but the reverse is not true. In particular, the empty set cannot be pointed, because it has no element that can be chosen as the basepoint.
Категориялық қасиеттер
Бұрышты жиынтықтар мен негізделген бейнелеулер категориясы жиынтықтар мен ішінара функциялар категориясына эквивалентті. Базалық нүкте, ішінара функция анықталмаған аргументтер үшін "дефолттық мән" рөлін атқарады. Бір оқулықта былай делінген: "Жиынтықтар мен ішінара бейнелеулерді 'дұрыс емес', 'шексіз' элементтерді қосу арқылы формалды толықтыру көп рет қайта ойлап табылды, әсіресе топологияда (бір нүктелік тығыздау) және теориялық информатикада." Бұл категория сондай-ақ косклице категориясына изоморфты, мұнда – (бір элементті жиынтықты таңдайтын функтор), ал – (жетілдіру функторы) жиынтықтар категориясы. Бұл алгебралық сипаттамамен сәйкес келеді, себебі бірегей бейнелеу косклице категориясының жебелерін анықтайтын коммутативтік үшбұрыштарды, алгебралардың гомоморфизмдерін анықтайтын коммутативтік төртбұрыштар құру үшін кеңейтеді. Бұрышты жиынтықтардан кәдімгі жиынтықтарға адал функтор бар, бірақ ол толық емес, сондықтан бұл категориялар эквивалентті емес. Бұл байқауды категориялық теория тұрғысынан топтардан бұрышты жиынтықтарға дейінгі ұмыту функторының болуы ретінде қайта айтуға болады. "Тамырланған жиын" ұғымы антиматроидтар мен көліктік политоптарды зерттеуде табиғи түрде пайда болады.
The category of pointed sets and based maps is equivalent to the category of sets and partial functions. The base point serves as a "default value" for those arguments for which the partial function is not defined. One textbook notes that "This formal completion of sets and partial maps by adding 'improper', 'infinite' elements was reinvented many times, in particular, in topology (one point compactification) and in theoretical computer science." This category is also isomorphic to the coslice category , where is (a functor that selects) a singleton set, and (the identity functor of) the category of sets. This coincides with the algebraic characterization, since the unique map extends the commutative triangles defining arrows of the coslice category to form the commutative squares defining homomorphisms of the algebras. There is a faithful functor from pointed sets to usual sets, but it is not full and these categories are not equivalent. This observation can be restated in category theoretic terms as the existence of a forgetful functor from groups to pointed sets. As "rooted set" the notion naturally appears in the study of antimatroids and transportation polytopes.