Понятие отмеченного множества в теории множеств: определение, отображения, категория и связь с обычными множествами и частичными функциями. Математика.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Основная концепция в теории множеств
Basic concept in set theory
В математике, указанное множество (также базисное множество или корневое множество)
In mathematics, a pointed set (also based set or rooted set
Отображения между указанными множествами называются базисными отображениями, указанными отображениями. Указанные отображения являются гомоморфизмами этих алгебраических структур. Класс всех указанных множеств вместе с классом всех базисных отображений образует категорию. Каждое указанное множество можно преобразовать в обычное множество, игнорируя базовую точку (забывающий функтор является точным), но обратное неверно. В частности, пустое множество нельзя указать, поскольку в нем нет элемента, который можно выбрать в качестве базовой точки.
Maps between pointed sets and —called based maps, pointed maps, Pointed maps are the homomorphisms of these algebraic structures. The class of all pointed sets together with the class of all based maps forms a category. Every pointed set can be converted to an ordinary set by forgetting the basepoint (the forgetful functor is faithful), but the reverse is not true. In particular, the empty set cannot be pointed, because it has no element that can be chosen as the basepoint.
Категорические свойства
Категория точечных множеств и отображений с выделенной точкой эквивалентна категории множеств и частичных функций. Выделенная точка служит "значением по умолчанию" для тех аргументов, для которых частичная функция не определена. В одном учебнике отмечается, что "это формальное расширение множеств и частичных отображений путем добавления "несобственных", "бесконечных" элементов было многократно изобретено, в частности, в топологии (компактификация в одну точку) и в теоретической информатике". Эта категория также изоморфна категории копроизведения, где – (функтор, выбирающий) одноэлементное множество, а – (тождественный функтор) категория множеств. Это совпадает с алгебраической характеристикой, поскольку единственное отображение расширяет коммутативные треугольники, определяющие стрелки в категории копроизведения, до коммутативных квадратов, определяющих гомоморфизмы алгебр. Существует верный функтор из точечных множеств в обычные множества, но он не полон, и эти категории не эквивалентны. Это наблюдение можно переформулировать в терминах теории категорий как существование забывающего функтора из групп в точечные множества. Как "укорененное множество", это понятие естественно возникает при изучении антиматроидов и транспортных политопов.
The category of pointed sets and based maps is equivalent to the category of sets and partial functions. The base point serves as a "default value" for those arguments for which the partial function is not defined. One textbook notes that "This formal completion of sets and partial maps by adding 'improper', 'infinite' elements was reinvented many times, in particular, in topology (one point compactification) and in theoretical computer science." This category is also isomorphic to the coslice category , where is (a functor that selects) a singleton set, and (the identity functor of) the category of sets. This coincides with the algebraic characterization, since the unique map extends the commutative triangles defining arrows of the coslice category to form the commutative squares defining homomorphisms of the algebras. There is a faithful functor from pointed sets to usual sets, but it is not full and these categories are not equivalent. This observation can be restated in category theoretic terms as the existence of a forgetful functor from groups to pointed sets. As "rooted set" the notion naturally appears in the study of antimatroids and transportation polytopes.