Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математика және жиын теориясының нәтижесі
Result in mathematics and set theory
Математикалық логикада Мостовскийдің құлдырау леммасы, сонымен қатар Шепардсон-Мостовский құлдырауы деп те аталады, – бұл жиын теориясының теоремасы, оны еңгізген.
In mathematical logic, the Mostowski collapse lemma, also known as the Shepherdson–Mostowski collapse, is a theorem of set theory introduced by and .
Жалпылау
Кез келген жақсы негізделген жиынтық қатынас сияқты қатынасты, жақсы негізделген жиынтық қатынас сияқты кеңейтілген қатынасқа енгізуге болады. Бұл Мостовскийдің құлдырау леммасының келесі түрін білдіреді: кез келген жақсы негізделген жиынтық сияқты қатынас, (бірден-бір емес және міндетті түрде транзитивті емес) классқа жиынтық мүшелігіне изоморфты. Кез келген жақсы негізделген жиынтық сияқты R қатынасы үшін, X жиынында F(x) = {F(y) : y R x} шартымен анықталатын F функциясын жақсы негізделген рекурсия арқылы табуға болады. Бұл R-дің гомоморфизмін (әдетте бірегей емес) транзитивті класске бейнелейді. F гомоморфизмі, R экстенсионалды болған жағдайда ғана изоморфизм болады. Мостовский леммасының жақсы негізделгендігі туралы талап, жақсы негізделмеген жиынтық теорияларында жеңілдетілуі немесе алынып тасталуы мүмкін. Боффаның жиынтық теориясында, кез келген жиынтық сияқты кеңейтілген қатынас, (бірден-бір емес) транзитивті классқа жиынтық мүшелігіне изоморфты. Ацзельдің анти-основа аксиомасы бар жиынтық теориясында, кез келген жиынтық сияқты қатынас, бірегей транзитивті классқа жиынтық мүшелігіне бисимуляциялық түрде ұқсас, сондықтан кез келген минималды бисимуляциялық жиынтық сияқты қатынас, бірегей транзитивті класске изоморфты.
Every well founded set like relation can be embedded into a well founded set like extensional relation. This implies the following variant of the Mostowski collapse lemma: every well founded set like relation is isomorphic to set membership on a (non unique, and not necessarily transitive) class. A mapping F such that F(x) = {F(y) : y R x} for all x in X can be defined for any well founded set like relation R on X by well founded recursion. It provides a homomorphism of R onto a (non unique, in general) transitive class. The homomorphism F is an isomorphism if and only if R is extensional. The well foundedness assumption of the Mostowski lemma can be alleviated or dropped in non well founded set theories. In Boffa's set theory, every set like extensional relation is isomorphic to set membership on a (non unique) transitive class. In set theory with Aczel's anti foundation axiom, every set like relation is bisimilar to set membership on a unique transitive class, hence every bisimulation minimal set like relation is isomorphic to a unique transitive class.
Қолдану
ZF-тің әрбір жиынтық моделі жиынға ұқсас және кеңейтілген. Егер модель жақсы негізделген болса, онда Мостовскийдің құлдырау леммасы бойынша ол ZF-тің транзитивті моделіне изоморфты болады және мұндай транзитивті модель бірегей. ZF-тің кейбір моделінің мүшелік қатынасы жақсы негізделген деу, модельдегі тұрақтылық аксиомасының дұрыс екенін айтудан күштірек. ZF-тің тұрақтылығын қабылдасақ, M моделінің доменінде R-дың ең кішкентай мүшесі жоқ A жиынтығы бар, бірақ бұл A жиынтығы "модельдегі жиынтық" емес (A модель доменінде емес, тіпті оның барлық мүшелері болса да). Нақтырақ айтқанда, мұндай A жиынтығы үшін M-де A = R−1[x] болатын x жоқ. Демек, M тұрақтылық аксиомасын қанағаттандырады ("іштен" жақсы негізделген), бірақ ол жақсы негізделмеген және құлдырау леммасы оған қолданылмайды.
Every set model of ZF is set like and extensional. If the model is well founded, then by the Mostowski collapse lemma it is isomorphic to a transitive model of ZF and such a transitive model is unique. Saying that the membership relation of some model of ZF is well founded is stronger than saying that the axiom of regularity is true in the model. There exists a model M (assuming the consistency of ZF) whose domain has a subset A with no R minimal element, but this set A is not a "set in the model" (A is not in the domain of the model, even though all of its members are). More precisely, for no such set A there exists x in M such that A = R−1[x]. So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well founded) but it is not well founded and the collapse lemma does not apply to it.