Введение

Результат в математике и теории множеств

В математической логике лемма коллапса Мостовского, также известная как коллапс Шепардсона — Мостовского, является теоремой теории множеств, введенной Анджеем Мостовским и Робертом Шепардсоном.

Обобщения

Каждое хорошо обоснованное отношение типа множества может быть вложено в хорошо обоснованное отношение типа экстенсионального отношения. Это влечет за собой следующий вариант леммы коллапса Мостовского: каждое хорошо обоснованное множество, подобное отношению, изоморфно отношению принадлежности к (не единственному и не обязательно транзитивному) классу. Отображение F, такое что F(x) = {F(y) : y R x} для всех x из X, может быть определено для любого хорошо обоснованного отношения типа множества R на X с помощью хорошо обоснованной рекурсии. Оно предоставляет гомоморфизм R на (не единственный, вообще говоря) транзитивный класс. Гомоморфизм F является изоморфизмом тогда и только тогда, когда R является экстенсиональным. Предположение о хорошо обоснованности в лемме Мостовского может быть ослаблено или отброшено в теориях множеств, не требующих хорошо обоснованности. В теории множеств Боффы каждое отношение типа множества, подобное экстенсиональному отношению, изоморфно отношению принадлежности к (не единственному) транзитивному классу. В теории множеств с аксиомой антифундамента Ацеля каждое отношение типа множества бисимилярно отношению принадлежности к единственному транзитивному классу, следовательно, каждое минимальное отношение типа множества, являющееся бисимуляцией, изоморфно единственному транзитивному классу.

Применение

Каждая модель ZF подобна множеству и является расширением. Если модель хорошо обоснована, то по лемме коллапса Мостовского она изоморфна транзитивной модели ZF, и такая транзитивная модель единственна. Утверждение о том, что отношение принадлежности в некоторой модели ZF хорошо обосновано, сильнее, чем утверждение о том, что аксиома регулярности истинна в этой модели. Существует модель M (при условии непротиворечивости ZF), область определения которой содержит подмножество A, не имеющее минимального элемента относительно R, но это множество A не является "множеством в модели" (A не принадлежит области определения модели, хотя все его элементы принадлежат ей). Более точно, для такого множества A не существует x в M, что A = R⁻¹[x]. Следовательно, M удовлетворяет аксиоме регулярности (является "внутренне" хорошо обоснованной), но не является хорошо обоснованной, и лемма коллапса к ней неприменима.