Кіріспе

Сақина теориясындағы проективті құрылыс

Математикада сақинадағы проективті сызық – бұл өрістегі проективті сызық ұғымының жалғасы. А (1-бен) сақинасы берілгенде, А үстіндегі P1(A) проективті сызығы проективті координаттармен анықталған нүктелерден тұрады. A× – А сақинасының бірліктерінің тобы болсын; A × A-дан алынған (a, b) және (c, d) жұптары A×-тағы u болғанда ғана байланысты болады, егер 1 = ua = c және 1 = ub = d болса. Бұл қатынас эквиваленттік қатынас болып табылады. Типик эквиваленттік класс U[a, b] деп жазылады, яғни U[a, b] проективті сызықта жатады, егер a және b арқылы туындаған бір жақты идеал A-ның өзі болса. P1(A) проективті сызығы гомографиялар тобымен жабдықталған. Гомографиялар А сақинасының матрицалық сақинасы және оның V бірліктері тобы арқылы келесідей өрнектеледі: Егер c, A× орталығы Z(A×)-та болса, онда P1(A) бойынша матрицалық топтың әрекеті сәйкестік матрицасының әрекетімен бірдей болады. Мұндай матрицалар V-нің N қалыпты кіші тобын көрсетеді. P1(A) гомографиялары P1(A) тобының элементтеріне сәйкес келеді. P1(A) сақинаның кеңейтілуі болып есептеледі, өйткені ол E: a → U[a, 1 енгізуіне байланысты А сақинасының көшірмесін қамтиды. Көбейтуге кері функция u → 1/u, әдетте A×-пен шектеледі, P1(A) проективті сызығында гомография арқылы өрнектеледі:

Сонымен қатар, u, v ∈ A× үшін a → uav функциясын гомографияға кеңейтуге болады:

u кез келген болғандықтан, оны u−1-ге алмастыруға болады. P1(A) проективті сызығындағы гомографиялар сызықтық бөлшек түрлендірулер деп аталады, себебі

Іс-шаралар

Өрістердегі сақиналар ең көп танымал: GF(2) үстіндегі проекциялық сызықтың үш элементі бар: U[0, 1], U[1, 0] және U[1, 1]. Оның гомографиялық тобы – осы үш элементтің пермутациялық тобы. Z/3Z немесе GF(3) сақинасы 1, 0 және −1 элементтерін қамтиды; оның проекциялық сызығында U[1, 0], U[1, 1], U[0, 1], U[1, −1] төрт элементі бар, себебі 1 және −1 екеуі де кері элементтерге ие. Бұл проекциялық сызықтағы гомографиялық топ 12 элементтен тұрады, олар матрицалармен немесе пермутациялар арқылы сипатталады.

Жалғаспалы сақиналар арқылы

Бөлу сақинасының үстіндегі проекциялық сызық бір көмекші нүктеге 1=∞ = U[1, 0] алып келеді. Мысалдарға нақты проекциялық сызық, кешенді проекциялық сызық және кватерниондардағы проекциялық сызық жатады. Бұл топологиялық сақиналардың мысалдарында проекциялық сызық бір нүктелік тығыздық ретінде қарастырылады. Кешенді сандар өрісі C үшін гомографиялық тобы Мёбиус тобы болып табылады. Дуаль сандардың үстіндегі проекциялық сызықты Иозеф Грунвальд 1906 жылы сипаттаған. Бұл сақинада 1=nn = 0 теңдігін қанағаттандыратын нөлден өзгеше нөлдік элемент n бар. Дуаль сандар жазықтығында U[1, xn], x ∈ R нүктелерінен тұратын сызық проекциялық сызықтың бөлігін құрайды. Исаак Яглом оны қосымша сызық қосылғанда цилиндр топологиясына ие болатын "инверсивті Галилей жазықтығы" деп сипаттаған. Сол сияқты, егер A жергілікті сақина болса, онда P1(A) A сақинасының ең үлкен идеал элементтеріне сәйкес келетін нүктелерді қосу арқылы құралады. Бөлінген кешенді сандардың M сақинасы үстіндегі проекциялық сызық көмекші сызықтарды енгізеді және стереографиялық проекцияны қолдану арқылы бөлінген кешенді сандар жазықтығы осы сызықтармен бір қабатты гиперболоидқа жабылады. M сақинасы үстіндегі проекциялық сызықты гомографиялық бейнелеу кезінде гиперболалардың мінез-құлқымен сипатталғанда Минковский жазықтығы деп атауға болады.

Модульдер

А сақинасы арқылы P1(A) проекциялық сызығын A ⊕ A модульіндегі проекциялық модульдер кеңістігі ретінде де анықтауға болады. P1(A) элементі A ⊕ A-ның тікелей қосылысы болып табылады. Бұл абстрактілірек тәсіл проективті геометрияны векторлық кеңістіктің ішкі кеңістіктерінің геометриясы ретінде қарастырады, кейде Гаррет Бирхоффтың тор теориясымен немесе Рейнхольд Баердің "Сызықтық алгебра және проективті геометрия" кітабымен байланыстырылады. Z рационал бүтін сандар сақинасы жағдайында P1(Z) модульдік қосылыс анықтамасы U[m, n]-ға, мұнда m мен n өзара жай, назар аударады және A топологиялық болғанда P1(A)-ның ерекше ерекшелігі болып табылатын енгізілімдерден құтылады. 1981 жылғы В. Бенц, Ханс Йоахим Самага және Хельмут Шеффердің мақаласында тікелей қосылыс анықтамасы айтылған. "Проективті бейнелеулер: сақиналар үстіндегі проекциялық сызықтар" мақаласында матрица сақинасының бірліктері тобы M2(R) және модуль және бимодуль ұғымдары сақина үстіндегі проекциялық сызықты анықтау үшін қолданылады. Бірліктер тобы GL(2, R) арқылы белгіленеді, бұл жалпы сызықтық топтан алынған белгі, мұнда R әдетте өріс ретінде қарастырылады. Проекциялық сызық – R × R еркін циклдік R(1, 0) субмодулінің GL(2, R) астындағы орбиталар жиынтығы. Бенцтің коммутативтік теориясын кеңейту арқылы сақина элементінің оң немесе сол көбейтуге керісінің болуы P1(R) және GL(2, R) -мен байланысты. Дедекиндтің шекті қасиеттері сипатталады. Ең маңыздысы, P1(R)-дың бөлу сақинасы K арқылы проективті кеңістікте (K, R) бимодулі U арқылы бейнеленуі жүзеге асырылады, ол сол K векторлық кеңістігі және оң R модулі болып табылады. P1(R) нүктелері P1(K, U × U) ішкі кеңістігіне изоморфты, олар өздерінің толықтыруларына тең.

Тізбектер

Комплексті жазықтықтағы нақты түзу Мёбиус түрлендірулері астында шеңберлермен және басқа да нақты түзулермен ауыстырылады, бұл күрделі проективті түзудегі нақты проективті түзудің каноникалық енгізілуін өзгертеді. A – F өрісі үстіндегі алгебра, F нақты сандар өрісі және A кешенді сандар өрісі болған жағдайды жалпылайды. P1(F) –тің P1(A) –ға каноникалық енгізілуі – P1(A) –дағы гомографияның P1(F) –тің бейнесі болып табылады. Төрт нүкте тізбекте жатады, егер және ғана егер олардың қиылыс қатынасы F-қа жатса. Карл фон Штаудт осы қасиетті өзінің "нақты соққылар" теориясында пайдаланды [reeler Zug].

Нысандық параллелизм

P1(A) нүктелерінің екеуі, егер оларды байланыстыратын тізбек болмаса, параллель болады. Нүктелер өзіне-өзі параллель деп есептелінеді. Бұл қатынас проективті түзуде гомографияның әсеріне қатысты өзгермейді. Егер үш өзара параллель емес нүкте берілсе, оларды байланыстыратын жалғыз тізбек болады.

Тарих

Август Фердинанд Мёбиус өзінің "Барицентрикалық есептеу" (1827) кітабы мен 1855 жылғы "Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung" атты еңбегі арасында Мёбиус трансформацияларын зерттеді. Карл Вильгельм Фейербах пен Юлиус Плюккер де гомогенді координаттарды қолдануды бастаған деп есептеледі. Эдуард Студи 1898 жылы және Эли Картан 1908 жылы Германия мен Франция математикалық энциклопедияларына гиперкешен сандар туралы мақалалар жазды, онда олар бұл арифметиканы Мёбиус трансформацияларын еліктеп, сызықтық бөлшекті трансформациялармен қолданады. 1902 жылы Теодор Вален Клиффорд алгебрасының кейбір сызықтық бөлшектік трансформацияларын зерттейтін қысқа, бірақ жақсы сілтемеленген мақала ұсынды. Двой сандар сақинасы Йозеф Грунвальдқа 1906 жылы P1(D) көрсетуге мүмкіндік берді. 1947 жылы Ирландияда П. Г. Гормли инверсивті кватернион геометриясының кейбір элементтерін сипаттады. 1968 жылы Исаак Ягломның "Геометриядағы комплекс сандар" еңбегі орыс тілінен ағылшын тіліне аударылып жарық көрді. Онда ол Евклид жазықтығындағы түзу геометриясын сипаттау үшін P1(D) және Лобачевский жазықтығындағы түзу геометриясын сипаттау үшін P1(M) қолданады. Ягломның "Жай емес Евклид геометриясы" еңбегі 1979 жылы ағылшын тілінде жарық көрді. Онда ол 174-тен 200-ге дейінгі беттерде Минковский геометриясын дамытады және P1(M) -ді "инверсивті Минковский жазықтығы" деп сипаттайды. Ягломның орыс тіліндегі түпнұсқасы 1969 жылы жарық көрді. Екі басылым арасында Уолтер Бенц (1973) өзінің кітабын жариялады, онда ол М-нен алынған гомогенді координаттарды қамтыды.