Введение
Проективная конструкция в теории колец
In mathematics, the projective line over a ring is an extension of the concept of projective line over a field. Given a ring A (with 1), the projective line P1(A) over A consists of points identified by projective coordinates. Let A× be the group of units of A; pairs (a, b) and (c, d) from A × A are related when there is a u in A× such that 1=ua = c and 1=ub = d. This relation is an equivalence relation. A typical equivalence class is written U[a, b]. , that is, U[a, b] is in the projective line if the one sided ideal generated by a and b is all of A. The projective line P1(A) is equipped with a group of homographies. The homographies are expressed through use of the matrix ring over A and its group of units V as follows: If c is in Z(A×), the center of A×, then the group action of matrix on P1(A) is the same as the action of the identity matrix. Such matrices represent a normal subgroup N of V. The homographies of P1(A) correspond to elements of the quotient group
P1(A) is considered an extension of the ring A since it contains a copy of A due to the embedding
E : a → U[a, 1]. The multiplicative inverse mapping u → 1/u, ordinarily restricted to A×, is expressed by a homography on P1(A):
Furthermore, for u,v ∈ A×, the mapping a → uav can be extended to a homography:
Since u is arbitrary, it may be substituted for u−1. Homographies on P1(A) are called linear fractional transformations since
В математике проективная прямая над кольцом является расширением понятия проективной прямой над полем. Для кольца A (с 1) проективная прямая P1(A) над A состоит из точек, идентифицированных проективными координатами. Пусть A× – группа обратимых элементов A; пары (a, b) и (c, d) из A × A связаны, если существует u ∈ A× такое, что ua = c и ub = d. Это отношение является отношением эквивалентности. Типичный класс эквивалентности записывается как U[a, b], то есть U[a, b] принадлежит проективной прямой, если односторонний идеал, порожденный a и b, равен всему A. Проективная прямая P1(A) снабжена группой гомографий. Гомографии выражаются с использованием матричного кольца над A и его группы обратимых элементов V следующим образом: если c ∈ Z(A×), центр A×, то групповое действие матрицы на P1(A) совпадает с действием единичной матрицы. Такие матрицы образуют нормальную подгруппу N группы V. Гомографии P1(A) соответствуют элементам факторгруппы.
In mathematics, the projective line over a ring is an extension of the concept of projective line over a field. Given a ring A (with 1), the projective line P1(A) over A consists of points identified by projective coordinates. Let A× be the group of units of A; pairs (a, b) and (c, d) from A × A are related when there is a u in A× such that 1=ua = c and 1=ub = d. This relation is an equivalence relation. A typical equivalence class is written U[a, b]. , that is, U[a, b] is in the projective line if the one sided ideal generated by a and b is all of A. The projective line P1(A) is equipped with a group of homographies. The homographies are expressed through use of the matrix ring over A and its group of units V as follows: If c is in Z(A×), the center of A×, then the group action of matrix on P1(A) is the same as the action of the identity matrix. Such matrices represent a normal subgroup N of V. The homographies of P1(A) correspond to elements of the quotient group
P1(A) is considered an extension of the ring A since it contains a copy of A due to the embedding
E : a → U[a, 1]. The multiplicative inverse mapping u → 1/u, ordinarily restricted to A×, is expressed by a homography on P1(A):
Furthermore, for u,v ∈ A×, the mapping a → uav can be extended to a homography:
Since u is arbitrary, it may be substituted for u−1. Homographies on P1(A) are called linear fractional transformations since
P1(A) рассматривается как расширение кольца A, поскольку она содержит копию A благодаря вложению E : a → U[a, 1]. Мультипликативное обратное отображение u → 1/u, обычно ограниченное A×, выражается гомографией на P1(A):
In mathematics, the projective line over a ring is an extension of the concept of projective line over a field. Given a ring A (with 1), the projective line P1(A) over A consists of points identified by projective coordinates. Let A× be the group of units of A; pairs (a, b) and (c, d) from A × A are related when there is a u in A× such that 1=ua = c and 1=ub = d. This relation is an equivalence relation. A typical equivalence class is written U[a, b]. , that is, U[a, b] is in the projective line if the one sided ideal generated by a and b is all of A. The projective line P1(A) is equipped with a group of homographies. The homographies are expressed through use of the matrix ring over A and its group of units V as follows: If c is in Z(A×), the center of A×, then the group action of matrix on P1(A) is the same as the action of the identity matrix. Such matrices represent a normal subgroup N of V. The homographies of P1(A) correspond to elements of the quotient group
P1(A) is considered an extension of the ring A since it contains a copy of A due to the embedding
E : a → U[a, 1]. The multiplicative inverse mapping u → 1/u, ordinarily restricted to A×, is expressed by a homography on P1(A):
Furthermore, for u,v ∈ A×, the mapping a → uav can be extended to a homography:
Since u is arbitrary, it may be substituted for u−1. Homographies on P1(A) are called linear fractional transformations since
Более того, для u, v ∈ A× отображение a → uav можно расширить до гомографии:
In mathematics, the projective line over a ring is an extension of the concept of projective line over a field. Given a ring A (with 1), the projective line P1(A) over A consists of points identified by projective coordinates. Let A× be the group of units of A; pairs (a, b) and (c, d) from A × A are related when there is a u in A× such that 1=ua = c and 1=ub = d. This relation is an equivalence relation. A typical equivalence class is written U[a, b]. , that is, U[a, b] is in the projective line if the one sided ideal generated by a and b is all of A. The projective line P1(A) is equipped with a group of homographies. The homographies are expressed through use of the matrix ring over A and its group of units V as follows: If c is in Z(A×), the center of A×, then the group action of matrix on P1(A) is the same as the action of the identity matrix. Such matrices represent a normal subgroup N of V. The homographies of P1(A) correspond to elements of the quotient group
P1(A) is considered an extension of the ring A since it contains a copy of A due to the embedding
E : a → U[a, 1]. The multiplicative inverse mapping u → 1/u, ordinarily restricted to A×, is expressed by a homography on P1(A):
Furthermore, for u,v ∈ A×, the mapping a → uav can be extended to a homography:
Since u is arbitrary, it may be substituted for u−1. Homographies on P1(A) are called linear fractional transformations since
Поскольку u произвольно, его можно заменить на u−1. Гомографии на P1(A) называются линейными дробными преобразованиями, поскольку
In mathematics, the projective line over a ring is an extension of the concept of projective line over a field. Given a ring A (with 1), the projective line P1(A) over A consists of points identified by projective coordinates. Let A× be the group of units of A; pairs (a, b) and (c, d) from A × A are related when there is a u in A× such that 1=ua = c and 1=ub = d. This relation is an equivalence relation. A typical equivalence class is written U[a, b]. , that is, U[a, b] is in the projective line if the one sided ideal generated by a and b is all of A. The projective line P1(A) is equipped with a group of homographies. The homographies are expressed through use of the matrix ring over A and its group of units V as follows: If c is in Z(A×), the center of A×, then the group action of matrix on P1(A) is the same as the action of the identity matrix. Such matrices represent a normal subgroup N of V. The homographies of P1(A) correspond to elements of the quotient group
P1(A) is considered an extension of the ring A since it contains a copy of A due to the embedding
E : a → U[a, 1]. The multiplicative inverse mapping u → 1/u, ordinarily restricted to A×, is expressed by a homography on P1(A):
Furthermore, for u,v ∈ A×, the mapping a → uav can be extended to a homography:
Since u is arbitrary, it may be substituted for u−1. Homographies on P1(A) are called linear fractional transformations since
Случаи
Кольца, являющиеся полями, наиболее хорошо знакомы: проективная прямая над GF(2) имеет три элемента: U[0, 1], U[1, 0] и U[1, 1]. Её группа гомографий — это группа перестановок этих трёх элементов. Кольцо Z/3Z, или GF(3), имеет элементы 1, 0 и −1; его проективная прямая имеет четыре элемента U[1, 0], U[1, 1], U[0, 1], U[1, −1], поскольку и 1, и −1 являются обратимыми элементами. Группа гомографий этой проективной прямой содержит 12 элементов и может быть описана как матрицами, так и перестановками.
На непрерывных кольцах
Проективная линия над кольцом с делением приводит к единственной вспомогательной точке 1=∞ = U[1, 0]. Примеры включают реальную проективную линию, комплексную проективную линию и проективную линию над кватернионами. Эти примеры топологических колец имеют проективную линию в качестве своей одноточечной компактификации. В случае поля комплексных чисел C группа Мебиуса является его группой гомографий. Проективная линия над двойственными числами была описана Йозефом Грунвальдом в 1906 году. Это кольцо содержит ненулевой нильпотентный элемент n, удовлетворяющий условию n² = 0. Плоскость двойственных чисел имеет проективную линию, включающую линию точек U[1, xn], где x ∈ R. Исаак Яглом описал её как "инверсивную галилеевскую плоскость", топологически являющуюся цилиндром при включении дополнительной линии. Аналогично, если A – локальное кольцо, то P1(A) формируется добавлением точек, соответствующих элементам максимального идеала A. Проективная линия над кольцом M расщеплённых комплексных чисел вводит вспомогательные линии и. Используя стереографическую проекцию, плоскость расщеплённых комплексных чисел замыкается этими линиями в однополостный гиперболоид. Проективную линию над M можно назвать плоскостью Минковского, если она характеризуется поведением гипербол при гомографическом преобразовании.
Модули
Проективная прямая P1(A) над кольцом A также может быть отождествлена с пространством проективных модулей в модуле A ⊕ A. Элемент P1(A) тогда является прямым слагаемым A ⊕ A. Этот более абстрактный подход исходит из представления о проективной геометрии как о геометрии подпространств векторного пространства, иногда связанного с теорией решёток Гарретта Биркоффа или книгой «Линейная алгебра и проективная геометрия» Рейнхольда Баэра. В случае кольца целых рациональных чисел Z, определение сумм модуля для P1(Z) сужает внимание к U[m, n], где m и n взаимно просты, и исключает вложения, которые являются существенной характеристикой P1(A) при топологическом A. В статье 1981 года В. Бенца, Ганса Йоахима Самаги и Гельмута Шеффера упоминается определение прямого слагаемого. В статье «Проективные представления: проективные прямые над кольцами» группа единиц матричного кольца M2(R) и понятия модуля и бимодуля используются для определения проективной прямой над кольцом. Группа единиц обозначается GL(2, R), используя обозначения из общей линейной группы, где R обычно принимается за поле. Проективная прямая — это множество орбит под действием GL(2, R) свободного циклического подмодуля R(1, 0) в R × R. Расширяя коммутативную теорию Бенца, существование правого или левого мультипликативного обратного элемента кольца связано с P1(R) и GL(2, R). Характеризуется конечное свойство Дедекинда. Наиболее значимо, представление P1(R) в проективном пространстве над полем с делением K осуществляется с помощью (K, R)-бимодуля U, который является левым K-векторным пространством и правым R-модулем. Точки P1(R) — это подпространства P1(K, U × U), изоморфные своим дополнениям.
Цепи
Реальная прямая на комплексной плоскости переходит в окружности и другие реальные прямые под действием преобразований Мёбиуса, которые, по сути, переставляют каноническое вложение реальной проективной прямой в комплексную проективную прямую. Пусть A – алгебра над полем F, обобщающая случай, когда F – поле вещественных чисел, а A – поле комплексных чисел. Каноническое вложение P1(F) в P1(A) есть цепь. Цепь – это образ P1(F) при гомографии на P1(A). Четыре точки лежат на цепи тогда и только тогда, когда их двойное отношение принадлежит F. Карл фон Штаудт использовал это свойство в своей теории "реальных ходов" [reeler Zug].
A chain is the image of P1(F) under a homography on P1(A). Four points lie on a chain if and only if their cross ratio is in F. Karl von Staudt exploited this property in his theory of "real strokes" [reeler Zug].
Точечная параллелизм
Две точки P1(A) параллельны, если между ними нет цепи. По определению, точка параллельна самой себе. Это отношение инвариантно относительно действия гомографии на проективной прямой. Для любых трех попарно непараллельных точек существует единственная цепь, соединяющая эти точки.
История
Август Фердинанд Мёбиус исследовал преобразования Мёбиуса в период между своей книгой «Барицентрическое исчисление» (1827) и его статьей 1855 года «Теория круговой связи в чисто геометрическом представлении». Карлу Вильгельму Фейербаху и Юлиусу Плюккеру также приписывают разработку использования однородных координат. Эдуард Штуди в 1898 году и Эли Картан в 1908 году написали статьи о гиперкомплексных числах для немецкой и французской энциклопедий математики соответственно, где они использовали эти арифметики с линейными дробными преобразованиями по аналогии с преобразованиями Мёбиуса. В 1902 году Теодор Вален опубликовал короткую, но хорошо аргументированную статью, посвященную исследованию некоторых линейных дробных преобразований алгебры Клиффорда. Кольцо двойственных чисел D предоставило Йозефу Грунвальду возможность представить P1(D) в 1906 году. В 1947 году П. Г. Гормли в Ирландии описал некоторые элементы инверсивной кватернионной геометрии. В 1968 году на английском языке вышла книга Исаака Яглома «Комплексные числа в геометрии», переведенная с русского языка. В ней он использует P1(D) для описания геометрии прямых на евклидовой плоскости и P1(M) для описания геометрии на плоскости Лобачевского. Текст Яглома «Простая неевклидова геометрия» появился на английском языке в 1979 году. Там, на страницах 174–200, он развивает геометрию Минковского и описывает P1(M) как «инверсивную плоскость Минковского». Русский оригинал текста Яглома был опубликован в 1969 году. Между этими двумя изданиями Уолтер Бенц (1973) опубликовал свою книгу, в которую были включены однородные координаты, заимствованные у М.