Кіріспе

Тригонометриялық функция секант минус бір ретінде анықталады. Сыртқы секант функциясы (эксекант, exsec символымен белгіленеді) – секант функциясы арқылы анықталатын тригонометриялық функция:

Оны 1855 жылы американдық азаматтық инженер Чарльз Хаслетт енгізді, ол теміржолдың дөңгелек бөліктерін жобалау және өлшеу үшін қолданыстағы версин функциясымен бірге пайдаланды. Оны АҚШ-тағы геодезистер мен инженерлер теміржол және жол құрылысында қолданды, ал 20-ғасырдың басынан бері американдық тригонометрия оқулықтарында және жалпы мақсаттағы инженерлік нұсқаулықтарда қысқаша айтылып келеді. Толықтыру үшін бірнеше кітапта коэксекант немесе эксосекант функциясы (coexsec немесе excsc символымен белгіленеді) анықталды, бұл толықтыратын бұрыштың эксеканты, бірақ ол практикада қолданылмады. Эксекант кейде басқа да қолданыстар тапқанмен, қазіргі күні ол көнеліп, негізінен тарихи қызығушылық тудырады. Сызық сегменті ретінде шеңбердің сыртқы секанты шеңбердің периферісінде бір нүктеге ие, содан кейін радиалды бағытта сыртқа қарай созылады. Бұл сегменттің ұзындығы – шеңбердің радиусы мен сегменттің ішкі нүктесі мен сыртқы нүкте арқылы өтетін және шеңберге жанасатын түзудің жанасу нүктесі арасындағы орталық бұрыштың тригонометриялық эксекантының көбейтіндісіне тең.

Этимология

Секант сөзі латын тілінен "кесу" деген мағынаны білдіреді, ал жалпы секант түзуі шеңберді "кесіп", екі рет қиып өтеді; бұл ұғым ежелгі заманға дейін барады және Евклидтің "Элементтер" еңбегінің 3-кітабында кездеседі, мысалы, қиылысатын секанттар теоремасында қолданылған. Латын тіліндегі 18 ғасырғы дереккөздерде шеңберге жанаспайтын, бір ұшы шеңберде жатқан кез келген сызық сегменті шеңбердің сыртқы бөлігі деп аталған. Томас Финк (1583) атынан аталған тригонометриялық секант, нақтырақ айтқанда, бір ұшы шеңбердің ортасында, екінші ұшы шеңбердің сыртында жатқан сызық сегментіне негізделген; шеңбер бұл сегментті радиус пен сыртқы секантқа бөледі. Сыртқы секант сегментін Галилео Галилей (1632) секант деп атап қолданған.

Тарих және қолдану

XIX ғасырда темір жолдың көп бөлігі қарапайым қисықтар деп аталатын шеңбер доғаларынан тұрды. Теміржолда жұмыс істейтін геодезистер мен инженерлер жолдың дөңгелек бөліктерін өлшеу және жоспарлау үшін көптеген қайталамалы тригонометриялық есептеулер жасауға мұқтаж болды. Геодезияда және жалпы практикалық геометрияда нақты есептеулерге байланысты "табиғи" тригонометриялық функциялар мен олардың жалпы логарифмдерінің кестелері қолданылды. Логарифмдерді пайдалану көп таңбалы сандарды қымбат көбейтуді арзан қосуға айналдырды, ал тригонометриялық кестелердің логарифмдік нұсқалары қажетті кестелерді қарау санын азайту арқылы еңбекті одан әрі үнемдеді. Иілген жол бөлімінің сыртқы секанты немесе сыртқы қашықтығы – бұл жол мен доға ұштарындағы жанама сызықтардың қиылысуы арасындағы ең қысқа қашықтық, ол радиус пен доғамен шектеліп қалған орталық бұрыштың жартысының тригонометриялық эксекантының көбейтіндісіне тең. Салыстыру үшін, иілген жол бөлімінің бұрылы синусы – ұзын хордадан (соңғы нүктелер арасындағы сызық сегменті) жолға дейінгі ең алыс қашықтық, Сагитта – бұл радиус еселенген тригонометриялық версины, орталық бұрыштың жартысы. Бұл екеуі де шеңберлік доғаларды өлшеу немесе есептеу үшін табиғи шамалар, оларды кейін басқа шамаларға көбейту немесе бөлу қажет. Чарльз Хаслетт (1855) эксекант пен версинаның логарифмін тікелей қараудың айтарлықтай күш-жігерді үнемдеп, бұрын қолжетімді тригонометриялық кестелердегі мәндерден бірдей шаманы есептеумен салыстырғанда дәлірек нәтижелер беретінін тапты. Осы идеяны басқа авторлар, мысалы, Сирльс (1880) қабылдады. 1913 жылға қарай Хаслеттің тәсілі американдық теміржол өнеркәсібінде осылайша кеңінен қабылдалды, сол контексте "сыртқы секанттар мен бұрылы синустар кестелері секанттар кестелерінен гөрі жиі кездесетін" болды. 19 ғасырдың соңы мен 20 ғасырда теміржолдар әртүрлі қисықтықтағы түзу немесе дөңгелек бөліктер арасындағы жолдың көшу қисығы ретінде Эйлер спиралының доғаларын қолдана бастады. Бұл спиральді қисықтарды эксеканттар мен версиналарды қолдану арқылы шамамен есептеуге болады. Каналдар мен жолдардың дөңгелек бөліктерін зерттеу кезінде осы типтегі мәселелерді шешу қажет, ал эксекант 20 ғасырдың ортасындағы жол зерттеуі туралы кітаптарда да қолданылды. Эксекант кейде басқа қолданулар үшін де пайдаланылды, мысалы, қабырғалар теориясы және сыммен тереңдікті өлшеу. Соңғы жылдары калькуляторлар мен компьютерлердің қолжетімділігі осы сияқты арнайы функциялардың тригонометриялық кестелерінің қажеттілігін жойды. Эксекант әдетте калькуляторларға немесе есептеу орталарына тікелей енгізілмейді (бірақ ол кейде бағдарламалық кітапханаларға қосылған), және жалпы есептеулер бұрынғыға қарағанда әлдеқайда арзан, енді еріншек қол еңбегін қажет етпейді.

Кіші бұрыштар үшін апатты жою

(Версинус) және (эксекант) өрнектерін наивтік түрде бағалау, екі шамамен тең шамалардың арасындағы айырманы есептеуге байланысты катастрофиялық жоюға әкелетін кіші бұрыштар үшін қиындық тудырады: себебі әр шаманың көптеген цифрлары бірдей болғандықтан, олар азайту кезінде жойылады, нәтижесінде төменгі дәлдікке ие болады. Мысалы, 1° секунды 1=sec 1° ≈ құрайды, ондағы алдыңғы бірнеше цифрлар нөлдерге кетеді, ал 1° эксекантының жалпы логарифмі 1=log exsec 1° ≈ құрайды, оның барлық цифрлары маңызды. Егер эксеканттың логарифмі алты таңбалы тригонометриялық кестеде секунды қарастырып, содан кейін 1-ді шегеру арқылы есептелсе, айырма 1=sec 1° − 1 ≈ тек 3 маңызды цифрға ие болады, ал логарифмді есептегеннен кейін тек үш цифр дұрыс, 1=log(sec 1° − 1) ≈ 1=−3.818156. Бұрыш одан да кішкентай болғанда дәлдік жоғалуы нашарлайды. Егер эксекант функциясының кестесі немесе компьютердегі іске асырылуы қолжетімді болмаса, эксекантты немесе версинусты пайдалана отырып дәл есептеуге болады, ол өзі <math>\sin \theta \, \tan \tfrac12\theta\,\vphantom\Big Haslett өзінің 1855 жылғы эксекант және версинус кестелерін есептеу үшін осы өзгешеліктерді қолданды. Шамалы кіші бұрыш үшін шеңбер доғасы шамамен параболаға ұқсас, ал версинус және эксекант бір-біріне шамамен тең және екеуі де доға ұзындығының квадратына пропорционал.